一、选择题在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设f(x)=arctanx,则
______
A.1
B.-1
C.
D.
A B C D
C
[解析] 因为
再由导数定义知
2. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是______
A.
B.f(x)=xe
-x,[0,1]
C.
D.f(x)=|x|,[0,1]
A B C D
A
[解析] 注意罗尔定理有三个条件:(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).逐一检查三个条件即可.为了简便起见先检查f(a)=f(b).故选A.
4. 设z=ln(x
2+y),则
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 求
时,将y认定为常量,则
故选B
5. 已知f'(cosx)=sinx,则f(cosx)=______
A.-cosx+C
B.cosx+C
C.
D.
A B C D
C
[解析] 已知f'(cosx)=sinx,在此式两侧对cosx求积分,得
有
故选C.
6.
______
A.-1
B.
C.
D.1
A B C D
C
[解析] 本题考查定积分的运算
故选C.
8. 设区域D={(x,y)|x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0},则在极坐标系下,二重积分
可表示为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 因为区域D:x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0,令
有0≤r≤1,
则
故选C
9. 下列级数中,条件收敛的级数是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 对于A中所给级数
由于
可知
因此
发散,应排除A.对于B中所给级数
由于
可知
因此
发散,应排除B.对于D中所给级数
为p=2的p级n=数,可知其为收敛级数,从而知
为绝对收敛,应排除D.对于C中所给级数
由于
的p级数,可知其发散.但是,注意到
为交错级数,且u
n=
由莱布尼茨定理可知
收敛,从而知其为条件收敛.故选C.
二、填空题1. 设f(x)在x=1处连续,且
则f'(1)=______.
2
[解析] 由题设条件,
则f'(1)=2.
2. 设
且f(x)在点x=0处连续,则a=______.
0
[解析] 本题考查的知识点为函数连续性的判定.
由于点x=0为函数的分段点,且在点x=0两侧f(x)的表达式不同,因此应考查左连续、右连续.
由于f(x)在点x=0连续,因此
从而a=0.
3.
e-1
[解析]
4. 函数y=x
2-2x在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=______.
[解析] 因为y=x
2-2x在[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件,
则设f(x)-x
2-2x,有
所以
5. 若
则k=______.
3
[解析] 因为
6. 已知f(x)的一个原函数为
则∫xf'(x)dx=______.
7. 曲线
的铅直渐近线为______.
x=-2
[解析] 由于题目只求铅直渐近线,所给函数表达式为分式,可知
因此所给曲线的铅直渐近线为x=-2.
8. 空间直角坐标系中方程y=x
2表示的曲线是______.
母线平行于z轴的抛物柱面
[解析] 本题考查二次曲面方程的识别.
9. 函数f(x,y)=4(x-y)-x
2-y
2的极大值点是______.
(2,-2)
[解析] 令
解得驻点为(2,-2).
A=f"
xx|
(2,-2)=-2,B=f"
xy|
(2,-2)=0,C=f"
yy|
(2,-2)=-2,则B
2-AC=-4<0有极值且A=-2<0,有极大值,所以极大值点为(2,-2).
10. 若级数
收敛于s,则
收敛于______.
s-u1
[解析] 因为
收敛于s.则
收敛于s-u
1.
三、解答题共70分.解答应写出推理、演算步骤.1. 求证:当x>0时,e
x>1+x.
[证明] 作辅助函数f(t)=et,则f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,于是
f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)(0<ξ<x),
即 ex-1=eξx(0<ξ<x).
又当0<ξ<x时,1<eξ<ex,故有ex-1=eξx>1·x=x,
即ex>1+x(x>0).
[解析] 本题可用单调性的思想去证,即令f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1>0(当x>0时),说明f(x)是增函数,即当x>0时,f(x)>f(0)=0,所以f(x)>0,则有ex>1+x.
2. 求极限
解
[解析] 此极限是“∞·(∞-∞)”,为不定型.而已知(a-b)(a
2+ab+b
2)=a
3-b
3,所以分子、分母同乘
后分式变为“
”型.又根据当n→∞时,分母的次数高于分子的次序,所以所求极限为零.
3. 设
试求φ(x)的极值.
解 由φ'(x)=x
2-1=0,得x=-1或x=1.
又φ"(x)=2x,且φ"(-1)=-2<0,φ"(1)=2>0,
故当x=-1时,φ(x)取极大值
当x=1时,φ(x)取极小值
[解析] 这是一道求函数极值的题.只要用常规求极值的方法去解就可以了.不过在求函数的导数时要注意变上限积分的导数公式的应用,即
4. 设y=y(x)满足
当Δx→0时,α为无穷小,求y.
解 由于当Δx→0时,α为无穷小,可知
从而有
lny=arctanx+C
1,
y=Ce
arctanx(C=e
C1).
[解析] 在做本题时要注意导数的定义,即
和一阶微分方程中变量可分离类的解法.
5. 已知平面π
1:kx-2y+3z-2=0与平面π
2:3x-2y-z+5=0垂直,试求参数k的值.
解 平面π
1,π
2的法向量分别为n
1={k,-2,3},n
2={3,-2,-1},
由题设知,n
1与n
2垂直,于是有 n
1·n
2=0,
即 3k+(-2)·(-2)+3·(-1)=0,
解得
[解析] 如果给出两个一般的平面方程π1:A1x+B1y+C1z+D1=0,π2:A2x+B2y+C2z+D2=0,则它们的法向量分别为n1={A1,B1,C1},n2={A2,B2,C2}.如果这两个平面π1与π2垂直,则应满足n1·n2=0,即A1A2+B1B2+C1C2=0.具体解法如上.
6. 要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器,其侧面与上底面用一种材料,下底面用另一种材料.已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米的价格为1元.问该容积的底面半径r与高h各为多少时,造这个容器所用的材料费用最少?
解 设S为材料费用函数,则S=2πrh+πr
2+3πr
2,
且满足条件πr
2h=32π,
所以
因
今S'(r)=0,得驻点 r=2.
因S"(2)=24π>0,且驻点唯一,所以r=2为S(r)的最小值点,
此时
所以r=2厘米,h=8厘米时,材料费用最省.
[解析] 本题为利用导数求最值问题.
求最大值与最小值的一般方法是:
(1)求出f(x)在(a,b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点:x1,…,xk.
(2)求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b处的函数值:f(x1),…,f(xk),f(a),f(b)进行比较,其中最大的数即为y=f(x)在[a,b]上的最大值,相应的x的取值即为f(x)在[a,b]上的最大值点,而其中最小的数值即为f(x)在[a,b]上的最小值,相应的x的取值即为f(x)在[a,b]上的最小值点.
7. 设平面薄片的方程可以表示为x
2+y
2≤R
2,x≥0,薄片上点(x,y)处的密度ρ(x,y)=
,求该薄片的质量M.
解法一 利用对称性.依题设
由于区域D关于x轴对称,
为x的偶函数,记D在x轴上方的部分为D
1,则
解法二
[解析] 由二重积分的物理意义知:该薄片的质量
(其中ρ(x,y)为密度函数),而此积分的区域D为半圆,即x
2+y
2≤R
2(x≥0),所以由下面解法可以得到质量M的结果.
8. 设函数f(x)在[-a,a](a>0)上连续,证明