一、选择题在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.4. 平面x+2y-z+3=0与空间直线
的位置关系是______
- A.互相垂直
- B.互相平行但直线不在平面上
- C.既不平行也不垂直
- D.直线在平面上
A B C D
D
[解析] 平面π:x+2y-z+3=0的法向量n={1,2,-1},
直线
的方向向量s={3,-1,1},(x
0,y
0,z
0)=(1,-1,2).因为3×1+(-1)×2+1×(-1)=0,所以直线与平面平行,又点(1,-1,2)满足平面方程(即直线l上的点在平面π上),因此直线在平面上.故选D.
8. 函数z=xy在点(0,0)处______
A B C D
D
[解析] 由z=xy得
解得驻点(0,0).
又因为A=z"
xx|
(0,0)=0,B=z"
xy|
(0,0)=1,C=z"
yy|
(0,0)=0,
B
2-AC=1>0,所以在(0,0)处无极值.故选D.
10. 设f(x,y)为连续,二次积分
交换积分次序后等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 积分区域D可以表示为0≤x≤2,x≤y≤2,其图形如图中阴影部分所示.交换积分次序,D也可以表示为0≤y≤2,0≤x≤y,因此
故选A
二、填空题1. 幂级数
的收敛半径为______.
1
[解析] 所给幂级数为不缺项情形,
可知ρ=1,因此收敛半径
2. 设f(x)=e
sinx,则
______.
-1
[解析] 由f(x)=e
sinx.则f'(x)=cosxe
sinx.再根据导数定义有
3. 已知当x→0时,
与x
2是等价无穷小,则a=______.
2
[解析] 当x→0时,
与x
2等价,应满足
而
所以当a=2时是等价的.
4. y"+8y'=0的特征方程是______.
r2+8r=0
[解析] 本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念.y"+8y'=0的特征方程为r2+8r=0.
5. 若f'(e
x)=1+e
2x,且f(0)=1,则f(x)=______.
[解析] 因为f'(e
x)=1+e
2x,则等式两边对e
x积分有
则f(0)=C=1.
所以
6. 已知f(0)=1,f(1)=2,f'(1)=3,则
______.
2
[解析] 由题设有
7. 空间直角坐标系中方程x
2+y
2=9表示的曲线是______.
以Oz为轴的圆柱面
[解析] 方程F(x,y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面,称之为柱面方程.方程x2+y2-32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程.
8. 直线
的方向向量为______.
{-2,1,2}
[解析] 直线l的方向向量为
9. 设z=x
2y+siny,则
2x
[解析] 由于z=x
2y+siny,可知
三、解答题共70分.解答应写出推理、演算步骤.1. 求函数
在点x=0处的导数y'|
x=0.
解
则
在点x=0处导函数
没有定义.由导数定义有
可知y'|
x=0=0.
[解析] 此题如果先求函数y的导数y'后,再代入x=0便得y'没有意义.所以此题只能利用导数的定义式,即
的方法来求.具体解法如上.
2. 计算
解法一 利用洛必达法则:
解法二 利用等价无穷小量代换:当x→0时,e
x-1~x,可得
[解析] 本题考查的知识点为利用洛必达法则求“
”型极限,或利用等价无穷小量代换简化求极限运算.
3. 设
求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线.
解 由
可知y=2为水平渐近线;
由
可知x=0为铅直渐近线.
[解析] 解本题的关键是要知道函数y=f(x)的水平渐近线和铅直渐近线的判定方法.即:(1)如果
则称x=x
0是一条铅直渐近线;(2)如果
则称y=C是一条水平渐近线.
4. 求由曲线y=2-x
2,y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积.
解 由平面图形a≤x≤b,0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为
画出平面图形的草图(如图所示),则所求体积为0≤x≤1,0≤y≤2-x
2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1,0≤y≤x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积.
当x≥0时,由
[解析] 就一般情况而言,如果有两条曲线y=f(x),y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a,x=b(a≤b)所围成的平面绕x轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为:
具体解法如上.
5. 将
展开为x的幂级数.
解 所给f(x)与标准展开级数中的形式不同,由于
因而
既有
故
[解析]
不容易直接展开为幂级数形式.但是对其求导后所得函数,即
是常见函数,它的展开式是已知的.这样我们就得到f'(x)的幂级数展开式,然后对其两边积分,就可以得到f(x)的展开式.
6. 计算
其中D如图所示,由y=x,y=1与y轴围成.
解法一
解法二
[解析] 计算二重积分的基本思想是将其化为二次积分.所给二重积分被积函数xy关于x,y对称,积分区域也较简单.可以将二重积分转化为:先对y积分,后对x积分的二次积分.也可以转化为:先对x积分,后对y积分的二次积分.
7. 证明方程
在区间(0,1)内有唯一的实根.
[证明] 令
则f(x)在区间[0,1]上连续.
由于
所以
又f(0)=-1<0,
根据连续函数的介值定理,函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点,即所给方程在(0,1)内至少有一个实根.
又
当0≤x≤1时,f'(x)>0.
因此,f(x)在[0,1]上单调增加,由此知f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点.
综上可知,方程
在区间(0,1)内有唯一的实根.
[解析] 首先设
然后验证f(x)在[0,1]上满足介值定理条件.由介值定理得到f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点(实根),并且根据
说明f(x)是单调增函数,从而得到f(x)在(0,1)内至多有一个零点.由此得到方程
在(0,1)内有唯一的实根.
8. 设
其中f(x)为连续函数,求f(x).
解 将所给表达式两端关于x求导,得
两端关于x再次求导,得
f"(x)=6x-f(x)
即 f"(x)+f(x)=6x.
将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程,相应的齐次微分方程的特征方程为
r
2+1=0.
特征根为r
1=i,r
2=-i.
齐次方程的通解为C
1cosx+C
2sinx.
设非齐次方程的一个特解为f
0(x).由于a=0不为特征根,可设f
0(x)=Ax,将f
0(x)代入上述非齐次微分方程可得A=6.因此f
0(x)=6x.非齐次方程的通解为
f(x)=C
1cosx+C
2sinx+6x
由初始条件f(0)=1,f'(0)=0,可得出
C
1=1,C
2=6.
故f(x)=cosx-6sinx+6x为所求函数.
[解析] 首先,对所给函数等式两边关于x求二阶导数,就可得到一个二阶常系数非齐次线性微分方程,即f"(x)+f(x)=6x.然后,求出这个微分方程的通解,再代入f(0)=1,f'(0)=0,即可求出f(x)的表达式.