一、选择题在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设f(0)=0,且f'(0)存在,则
______
A.f'(0)
B.2f'(0)
C.f(0)
D.
A B C D
B
[解析] 此极限属于“
”型,可用洛必达法则,
即故选B.
2. 设有直线
当直线l
1与l
2平行时,λ=______
A.1
B.0
C.
D.-1
A B C D
C
[解析] 本题考查的知识点为直线间的关系.直线
其方向向量分别为s
1={1,2,λ),s
2={2,4,-1}.又l
1∥l
2,则
从而
故选C
5. 设z=x
y+y,则
______
A.e+1
B.
C.2
D.1
A B C D
A
[解析] 因为
所以
故选A.
9. 设y
1,y
2为二阶线性常系数微分方程y"+p
1y'+p
2y=0的两个特解,则C
1y
1+C
2y
2______
- A.为所给方程的解,但不是通解
- B.为所给方程的解,但不一定是通解
- C.为所给方程的通解
- D.不为所给方程的解
A B C D
B
[解析] 如果y
1,y
2这两个特解是线性无关的,即
则C
1y
1+C
2y
2是其方程的通解.现在题设中没有指出是否线性无关,所以可能是通解,也可能不是通解.故选B.
10. 设u
n≤av
n(n=1,2,…)(a>0),且
收敛,则
______
- A.必定收敛
- B.必定发散
- C.收敛性与a有关
- D.上述三个结论都不正确
A B C D
D
[解析] 由正项级数的比较判定法知,若u
n≤v
n,则当
收敛时,
也收敛;若
发散时,则
也发散,但题设未交待u
n与v
n的正负性,由此可分析此题选D.
二、填空题1. 函数
在[1,2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=______.
[解析] 由拉格朗日中值定理有
解得ξ
2=2.
其中
(舍),得
2. 设y=(1+x
2)arctanx,则y'=______.
1+2xarctanx
[解析] 因为y=(1+x
2)arctanx,所以
3. 设f(x)在x=1处连续,
则
2
[解析] 由连续函数的充要条件知f(x)在x
0处连续,则
故
4. 极限
0
[解析] 因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷,因此它不是重要极限的形式,由于
,即当x→∞时,
为无穷小量.而cosx-1为有界函数,利用无穷小量性质知
5. ∫(x
2-1)dx=______.
[解析]
7. 设z=x
3y
3,则
12dx+4dy
[解析] 由z=x
3y
2,得
故
8. 设区域D:x
2+y
2≤a
2(a>0),y≥0,则
化为极坐标系下的二重积分的表达式为______.
[解析] 因为D:x
2+y
2≤a
2(a>0),y≥0,所以令
且0≤r≤a,
0≤θ≤π,则
9. 设y=f(x)在点x
0处可导,且在点x
0处取得极小值,则曲线y=f(x)在点(x
0,f(x
0))处的切线方程为______.
y=f(x0)
[解析] y=f(x)在点x0处可导,且y=f(x)有极小值f(x0),这意味着x0为f(x)的极小值点.由极值的必要条件可知,必有f'(x0)=0,因此曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)=0,即y=f(x0)为所求切线方程.
10. 幂级数
的收敛半径为______.
[解析] 因为级数为
所以用比值判别法有
当
时收敛,即x
2<2.收敛区间为(
),故收敛半径
.
三、解答题共70分.解答应写出推理、演算步骤.1. 计算
解法一
解法二
[解析] 所给求极限的函数为分式,其分子与分母的极限都为零,问题为“
”型,可以考虑利用洛必达法则求解.注意分母可以分解因式:x
2-1=(x-1)(x+1),此时分子与分母有公因式.因此也可以先将求极限的函数恒等变形.
2. 计算∫sin3xdx.
解法一 设t=3x,则dt=3dx.
解法二
[解析] 可以利用换元法,也可以利用直接凑微分法求不定积分.
3. 将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图所示的阴影部分),然后将其沿虚线折起,做成一个无盖正三棱柱盒子.问当图中的x取何值时,该盒子的容积最大?并求出最大容积.
解 正三棱柱盒子的高为
正三棱柱盒子的底面积为
正三棱柱盒子的容积为
令V'(x)=0,得驻点
(舍去)或
.由所给问题的实际意义知
为最大值点,所以
时容积最大,最大容积为
[解析] 首先根据所设x由题意写出体积函数V(x),然后利用一元函数求极值的方法即可得出最大体积(容积).
4. 求过点M
0(0,2,4),且与两个平面π
1,π
2都平行的直线方程,其中
π
1:x+y-2z-1=0,
π
2:x+2y-z+1=0.
解 如果直线l平行于π
1,则平面π
1的法线向量n
1必定垂直于直线l的方向向量s.同理,直线l平行于π
2,则平面π
2的法线向量n
2必定满足n
2⊥s.由向量积的定义可知.取
由于直线l过点M
0(0,2,4),由直线的标准方程可知
为所求直线方程.
[解析] 本题考查直线方程的求解.据题意可求出直线的方向向量,进而求出直线的点向式方程.
5. 设x
2+y
2+z
2-4z=0,求
解 设F(x,y,z)=x
2+y
2+z
2-4z,则
F'
x=2x,F'
y=2y,F'
z=2z-4,
故
从而
[解析] 解这样一个二元函数隐函数求偏导数的题型.
首先要设F(x,y,z)=x
2+y
2+z
2-4z,然后要掌握公式:
6. 计算二重积分
其中D为曲线x=y
2+1,直线x=0,y=0,y=1所围成的区域.
解 作出积分区域D的草图,如图所示,则积分区域可以用不等式0≤x≤y
2+1,0≤y≤1表示,故
[解析] 解二重积分最好先根据题中所给的区域D画出草图,以便容易定出积分上、下限.注意此题只能先对x积分.
7. 求椭圆
所围成图形的面积A
解法一 椭圆关于两坐标轴都对称,所以椭圆所围成的图形面积A=4A
1,其中A
1为该椭圆在第一象限的曲线与两坐标轴所围成图形面积,所以
将y在第一象限的表达式
代入上式,可得
令x=acost,则dx=-asintdt,且当x=0时,
当x=a时,t=0,则
所以
解法二 椭圆的参数方程为
在第一象限中,当x=a时,t=0;当x=0时,
.所以
所以A=4A
1=πab.
[解析] 因为椭圆的面积A被坐标平分为四等分,所以只需求出在第一象限所围的面积A
1,再乘以4即可,即
8. 求微分方程xy'+y=e
x满足初始条件y|
x=1=e的特解.
解 所给方程为一阶线性微分方程,将其化为标准方程
将初始条件y|
x=1=e代入上式,可得C=0,故
为所求的特解.
[解析] 将方程化为标准形式,先求出微分方程的通解,再利用初始条件求出特解.