一、选择题在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数中在点x=0处可导的是______
A.
B.|x|
C.
D.|x|
2 A B C D
D
[解析] 因为
在x=0处无定义不可导,|x|在x=0处不可导;|x|
2=x
2可导.故选D.
5. 设
则______
- A.I1>I2>I3
- B.I1>I3>I2
- C.I3>I1>I2
- D.I2>I1>I3
A B C D
D
[解析]
所以I
2>I
1>I
3.故选D.
6. 函数
的单调递减区间为______
- A.(-∞,-2),(2,+∞)
- B.(-2,2)
- C.(-∞,0),(0,+∞)
- D.(-2,0),(0,2)
A B C D
D
[解析] 令
导数
令f'(x)=0,分界驻点为x
1=-2,x
2=2,且在x=0处无定义.
当x=-2时,左侧f'(x)>0,f(x)单调递增,右侧(到x=0)f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x=2时,左侧(到x=0)f'(x)<0,f(x)单调递减,右侧f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以,在(-2,0),(0,2)内函数f(x)为减函数,故选D.
9. 幂级数
的收敛半径为______
A B C D
A
[解析] 由于
中a
n=1,因此a
n+1=1,
可知收敛半径
故选A.
二、填空题1. 若
则a=______.
-2
[解析] 因为
所以a=-2.
2. 设sinx为f(x)的原函数,则f'(x)=______.
-sinx
[解析] 因为sinx为f(x)的一个原函数,所以f(x)=(sinx)'=cosx,f'(x)=-sinx.
3. 设
则y'=______.
[解析]
4. ∫x(x
2-5)
4dx=______.
[解析]
5. 如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=______.
f'(ξ)(b-a)
[解析] 由题目条件可知函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此必定存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).
6. 设z=sin(x
2y),则
x2cos(x2y)
[解析] 设u=x
2y,则z=sinu,因此
7. 二元函数z=x
2+3xy+y
2+2x,则
3
[解析] 因为z=x
2+3xy+y
2+2x
所以
8. 交换二重积分次序
______.
[解析] 因为
所以其区域如图所示,所以先对x的积分为
9. 设
则Ф"(x)=______.
[解析] 用变上限积分公式
则
10. 微分方程y'=x的通解为______.
[解析] 本题考查可分离变量的微分方程.分离变量得dy=xdx,
两端分别积分,
三、解答题共70分.解答应写出推理、演算步骤.1. 证明:抛物线
上任一点处切线所截两坐标轴的截距之和等于a.
[证明] 设(x
0,y
0)为曲线上任意一点,于是有
先求曲线上点(x
0,y
0)处的切线斜率,由隐函数求导法,得
所以
故点(x
0,y
0)处曲线的切线斜率为
得到点(x
0,y
0)处切线方程为
令x=0,得切线在y轴上的截距为
令y=0,得切线在x轴上的截距为
所以
得证.
[解析] 对隐函
两边求导有
则抛物线切线的斜率为
在抛物线上任意一点(x
0,y
0)处的切线方程为
令x=0,则在y轴上的截距为
令y=0,在x轴上的截距为
将x+y整理后即得所求.具体解法如上.
2. 已知平面过两点M(3,-2,5)和N(2,3,1)且平行于z轴,求此平面的方程.
解 因为平面平行于z轴,故设所求平面方程为Ax+By+D=0.又过两点M,N,将其坐标分别代入方
程得
解得
再代入方程得
故得5x+y-13=0.
[解析] 解本题的关键是要抓住题中的两个条件.其一,此平面平行于z轴,因而此平面方程为Ax+By+D=0;其二,平面过两个点,那么这两个点代入方程后应使等式成立.
3. 计算
解
[解析] 本题考查定积分的计算,可利用分部积分法.
4. 求函数f(x,y)=e
2x(x+y
2+2y)的极值.
解 解方程组
得到驻点
在
处,由于
f"
xx=2e,f"
xy=0,f"
yy=2e,
故 A=2e,B=0, C=2e.
从而 B
2-AC=-4e
2<0, A=2e>0,
所以
为极小值点,
为函数的极小值.
[解析] 这是二元函数极值问题.先求方程组
的一切实数解,得到所有驻点,再逐个代入f"
xx(x,y),f"
xy(x,y),f"
yy(x,y)中,求出A,B,C的值,然后确定B
2-AC的符号,由极值充分条件判定其是否为极值点即可.具体求解如下:
5. 判断级数
(a>0,a≠e)的敛散性.
解 令
则
由于
故有当
即a>e时,该级数收敛;当
即a<e时,该级数发散.
[解析] 这是一个正项级数,用正项级数比值判定法判定即可.
6. 将函数
展开为x-1的幂级数,并指出收敛区间(不考虑端点).
解
的收敛区间为
即x∈(-1,3).
的收敛区间为
即x∈(-3,5),故所求收敛区间为(-1,3).
[解析] 已知
然后将
分解成
的形式,再借用
的已知展开式展开即可.
7. 求微分方程y"+y'-2y=0的通解.
解 方程的特征方程为r2+r-2=0,可解得特征根为r1=-2,r2=1,
所以微分方程的通解为y=C1e-2x+C2ex
[解析] 本题考查求二阶常系数齐次线性微分方程的通解.
设8. 改变积分次序;
解 积分区域的不等式表示为
作出其草图,如图所示,交换积分次序后,区域D又可表示为
则
9. 计算I的值.
解
[解析] 根据式中先对x积分的积分上、下限画出积分区域D的草图,然后再根据画出的草图转化为先对y积分的二次积分,再计算I的值.如果按照I的原来积分次序,由于
不是初等函数,故不能积出,但是如果按照交换后的积分次序积分,情况就不同了.