一、选择题1. 设u
n≤av
n(n=1,2,…)(a>0),且
收敛,则
______
- A.必定收敛
- B.必定发散
- C.收敛性与a有关
- D.上述三个结论都不正确
A B C D
D
[解析] 由正项级数的比较判定法知,若u
n≤v
n,则当
收敛时,
也收敛;若
发散时,则
也发散,但题设未交待u
n与v
n的正负性,由此可分析此题选D.
4. 若
,则______
- A.m(y)=y-1,n(y)=0
- B.m(y)=y-1,n(y)=1-y
- C.m(y)=1-y,n(y)=y-1
- D.m(y)=0,n(y)=y-1
A B C D
B
[解析] 由题作图,D
1表示
的积分区域,D
2表示
的积分区域,故D
1+D
2整个积分区域可表示为
,
因此m(y)=y-1,n(y)=1-y,应选B.
17. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是______
A.
B.f(x)=xe
-x,[0,1]
C.
D.f(x)=|x|,[0,1]
A B C D
A
[解析] 注意罗尔定理有三个条件:(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).逐一检查三个条件即可.为了简便起见先检查f(a)=f(b).故选A.
18. 设函数f(x)在点x
0的某邻域内可导,且f(x
0)为f(x)的一个极小值,则
等于______
A B C D
B
[解析] 本题考查了函数的极值的知识点.
因f(x)在x=x
0处取得极值,且可导,于是
.
21.
等于______.
A.0
B.
C.
D.∞
A B C D
A
[解析] 本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质.
当x→∞时,
为无穷小量,而sin
2mx为有界变量,因此
.
若将条件换为x→0,则
.
若将条件换为x→1,则
.
这表明计算时应该注意问题中的所给条件.
24. 级数
(k为非零正常数)______.
- A.绝对收敛
- B.条件收敛
- C.发散
- D.收敛性与k有关
A B C D
A
[解析] 本题考查的知识点为无穷级数的收敛性.
由于
是p=2的p级数,从而
收敛,
收敛,可知所给级数绝对收敛.
二、填空题1. 设f(x)=x-cosx,则f'(0)=______.
1
[解析] f'(x)=(x-cosx)'=x'-(cosx)'=1+sinx,f'(0)=1.
2. 设
,则y"(1)=______.
3. 设当x→0时,ax
2与
是等价无穷小,则a=______.
4. 级数
的收敛区间(不考虑端点)为______.
5. 级数
是______级数.
6. 设
问当k=______时,函数f(x)在其定义域内连续.
1
[考点] 本题考查了函数的连续性的知识点.
[解析]
且f(0)=k,则k=1时,f(x)在x=0连续.
注:分段函数在分段点处的连续性,多从f(x
0-0)=f(x
0+0)=f(x
0)是否成立入手.
8. 设z=x
y,则
yxy-1
[解析] z=x
y,求
时,将y认作常量,因此认定z为x的幂函数,
9. 设
,则f'(x)=______.
10.
,则k=______.