一、选择题4. 当x→0时,下列变量中为无穷小的是______
A.lg|x|
B.
C.cotx
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查了无穷小量的知识点.
[解析] x→0时,lg|x|→-∞,
无极限,cotx→∞,
,故选D.
7. 设函数f(x)=2lnx+e
x,则f′(2)等于______
A B C D
C
[考点] 本题考查了函数在一点的导数的知识点.
[解析] 因f(x)=2lnx+e
x,于是
故f′(2)=1+e
2.
10. 设区域D={(x,y)|x
2+y
2≤a
2,a>0,y≥0},将二重积分
在极坐标系下化为二次积分为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分.
由于在极坐标系下积分区域D可以表示为
0≤θ≤π,0≤r≤a.
因此
故知应选A.
13. 下列原函数为ln(ax)(a≠0,1)的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由
,故选B.
17. 曲线
______
- A.有水平渐近线,无铅直渐近线
- B.无水平渐近线,有铅直渐近线
- C.既有水平渐近线,又有铅直渐近线
- D.既无水平渐沂线,也无铅直渐近线
A B C D
C
[解析] 本题考查了曲线的渐近线的知识点.
对于曲线
,因
,故有水平渐近线y=1;又
,水平渐近线y=1;又
,故曲线有铅直渐近线y=-1.
19. 设∫f(x)dx=e
x+C,则∫xf(1-x
2)dx为______
A.xe
1-x2+C
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查了换元积分法求不定积分的知识点.
[解析]
另解:将∫f(x)dx=e
x+C两边对x求导得f(x)=e
x,
21. 设函数z=y
3x,则
等于______.
- A.y3xlny
- B.3y3xlny
- C.3xy3x
- D.3xy3x-1
A B C D
D
[解析] 本题考查的知识点为偏导数的计算.
z=y
3x 是关于y的幂函数,因此
故应选D.
23. 设函数
在x=0处连续,则a的值为______
A.-2
B.2
C.
D.
A B C D
A
[解析] ∵f(x)在x=0处连续,所以
又∵f(0)=2,∴-a=2,a=-2.故选A
26. 过点(0,2,4)且平行于平面x+2z=1,y-3z=2的直线方程为______
A.
B.
C.
D.-2x+3(y-2)+z-4=0
A B C D
C
[考点] 本题考查了直线方程的知识点.
[解析] 两平面的交线方向
即为所求直线的方向,所以所求直线方程为
28. 由曲线
,直线y=x,x=2所同面积为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 本题考查了曲线所围成的面积的知识点.
曲线
与直线y=x,x=2所围成的区域D如下图所示,
则
.
30.
等于______.
A.arcsinb-arcsina
B.
C.arcsinx
D.0
A B C D
D
[解析] 本题考查的知识点为定积分的性质.
由于当f(x)可积时,定积分
的值为一个确定常数,因此总有
故应选D.
二、填空题1. 当x=1时,f(x)=x
3+3px+q取到极值(其中q为任意常数),则p=______。
-1
[解析] 本题考查了函数的极值的知识点.
f'(x)=3x2+3p,f'(1)=3+3p=0,所以p=-1.
3. y″-2y′-3y=0的通解是______.
y=C1e-x+C2e3x
[考点] 本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点.
[解析] 由y″-2y′-3y=0的特征方程为r2-2r-3=0,
得特征根为r1=3,r2=-1,所以方程的通解为y=C1e-x+C2e3x.
4. 设f(x)=x
2sin(x-1),则f'(1)=______.
5. 函数f(x,y)=4(x-y)-x
2-y
2的极大值点是______.
6. 设f(x+1)=x
2-3x+4,则f(x)=______.
7. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinx,则f'
x(x,1)=______.
1
[解析] 由于f(x,1)=x,因此f'
x(x,1)=1.或
,故f'
x(x,1)=1.
8.
[解析]
9. 设
,则
______。
10. 设y=xe
x,则y"(0)=______.