一、选择题8. 下列积分中,值为零的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查了定积分的知识点.
[解析] 对于A选项xsin
2x为奇函数,由积分性质知,
对于B选项,
对于C选项,
对于D选项,
故选A.
13. 设u
n≤av
n(n=1,2,…)(a>0),且
收敛,则
______
- A.必定收敛
- B.必定发散
- C.收敛性与a有关
- D.上述三个结论都不正确
A B C D
D
[解析] 由正项级数的比较判定法知,若u
n≤v
n,则当
收敛时,
也收敛;
发散时,
也发散,但题设未交待u
n与v
n的正负性,由此可分析此题选D.
20. 设y
1,y
2为二阶线性常系数微分方程y"+p
1y'+p
2y=0的两个特解,则C
1y
1+C
2y
2______.
- A.为所给方程的解,但不是通解
- B.为所给方程的解,但不一定是通解
- C.为所给方程的通解
- D.不为所给方程的解
A B C D
B
[解析] 本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构.
已知y1,y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解,由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解,因此应排除D.又由解的结构定理可知,当y1,y2线性无关时,C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解,因此应该选B.
本题中常见的错误是选C.这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误.解的结构定理中指出:“若y1,y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解,则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解,其中C1,C2为任意常数.”由于所给命题中没有指出y1,y2为线性无关的特解,可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解.但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解,因此应选B.
22. 微分方程y'+y=0的通解为______.
- A.y=ex
- B.y=e-x
- C.y=Cex
- D.y=Ce-x
A B C D
D
[解析] 本题考查的知识点为一阶微分方程的求解.
可以将方程认作可分离变量方程;也可以将方程认作一阶线性微分方程;还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程,并作为特例求解.
[解法1] 将方程认作可分离变量方程.
分离变量
两端分别积分
lny=-x+C
1,
或 y=Ce
-x.
[解法2] 将方程认作一阶线性微分方程.由通解公式可得
y=e
-∫p(x)dx[∫q(x)e
∫p(x)dxdx+C]=e
-∫dx(∫0·e
∫dxdx+C)=Ce
-x.
[解法3] 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解:
特征方程为 r+1=0,
特征根为 r=-1,
方程通解为 y=Ce
-x.
24. 函数
的单调减少区间是______
- A.(-∞,-2),(2,+∞)
- B.(-2,2)
- C.(-∞,0),(0,+∞)
- D.(-2,0),(0,2)
A B C D
D
[解析] 由
,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),
,令y'=0,得x=±2.
列表:
x
|
(-∞,-2)
|
(-2,0)
|
(0,2)
|
(2,+∞)
|
y y
|
+ ↗
|
- ↘
|
- ↘
|
+ ↗
|
故函数的单调减少区间是(-2,0),(0,2),选D.
二、填空题1. 3∫e
xdx=______.
3ex+C
[解析] 本题考查的知识点为不定积分计算.
由不定积分基本公式可知3∫exdx=3ex+C.
2.
=______.
3. 函数y=x
5-5x+5在区间[1,5]上的最小值是______.
y|x=1=1
[解析] y'=5x4-5,在区间[1,5]上y'≥0所以y=x5-5x+5在[1,5]上为增函数,最小值为y|x=1=1.
4. 设z=x
3y
2,则
=______.
12dx+4dy
[解析] 本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分.
由于z=x
3y
2,可知
,均为连续函数,因此
5. 空间平面π:x+2y-z+3=0与空间直线l:
的位置关系是______.
6. 若函数
在x=0处连续,则a=______.
7. 当x=1时,f(x)=x
3+3px+q取到极值(其中q为任意常数),则p=______.
-1
[考点] 本题考查了函数的极值的知识点.
[解析] f′(x)=3x2+3p,f′(1)=3+3p=0,所以p=-1.
8.
的定义域是______.
9. ∫sec
25xdx=______.
[考点] 本题考查了不定积分的知识点.
[解析]
10. f(x)在x
0处连续的______是
.