一、选择题2. 设
,g(x)=x
3+x
4,当x→0时f(x)与g(x)是______
- A.等价无穷小
- B.f(x)是比g(x)高阶无穷小
- C.f(x)是比g(x)低阶无穷小
- D.f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小
A B C D
D
[考点] 本题考查了两个无穷小量阶的比较的知识点.
[解析]
故f(x)与g(x)是同价但非等价无穷小.
7. 设有直线
当直线l
1与l
2平行时,λ等于
.
A.1
B.0
C.
D.-1
A B C D
C
[解析] 本题考查的知识点为直线间的关系.
直线
其方向向量
l
1∥l
2,则
从而
,可知应选C.
10. 设
在x=0处连续,且
,则a=______
A.2
B.-2
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为f(x)在x=0处连续,所以
,
解得
,选D.
11. 下列反常积分收敛的______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查了反常积分的敛散性的知识点.
[解析] 由
当p≤1时发散,p>1时收敛,可知应选D.
注:本题容易看出A选项发散.而B选项
中
相当于
,故此积分发散.对于C选项,由
,故此积分发散.
13. 曲线y=e
x与其过原点的切线及y轴所围面积为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 本题考查了曲线围成的面积的知识点.
设(x
0,y
0)为切点,则切线方程为y=e
x0x,联立
得x
0=1,y
0=e,所以切线方程为y=ex.故所求面积为
.
21. 设y
1,y
2为二阶线性常系数微分方程y"+p
1y'+p
2y=0的两个特解,则C
1y
1+C
2y
2______.
- A.为所给方程的解,但不是通解
- B.为所给方程的解,但不一定是通解
- C.为所给方程的通解
- D.不为所给方程的解
A B C D
B
[解析] 本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构.
已知y1,y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解,由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解,因此应排除D.又由解的结构定理可知,当y1,y2线性无关时,C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解,因此应该选B.
本题中常见的错误是选C.这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误.解的结构定理中指出:“若y1,y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解,则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解,其中C1,C2为任意常数.”由于所给命题中没有指出y1,y2为线性无关的特解,可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解.但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解,因此应选B.
22. 设f(x)在点x
0处连续,则下列命题中正确的是______.
A.f(x)在点x
0必定可导
B.f(x)在点x
0必定不可导
C.
必定存在
D.
可能不存在
A B C D
C
[解析] 本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系.
函数f(x)在点x
0可导,则f(x)在点x
0必连续.
函数f(x)在点x
0连续,则
必定存在.
函数f(x)在点x
0连续,f(x)在点x
0不一定可导.
函数f(x)在点x
0不连续,则f(x)在点x
0必定不可导.
这些性质考生应该熟记.由这些性质可知本例应该选C.
26. 若
收敛,
,则下列命题中正确的有______.
A.
B.
存在
C.
可能不存在
D.{S
n}为单调增数列
A B C D
B
[解析] 本题考查的知识点为级数收敛性的定义.
由级数收敛性的定义:若
,当
存在时,则称级数
收敛,可知应选B.
29. 设函数f(x)可导,且
,则f′(x)=______
A.2
B.1
C.
D.0
A B C D
C
[考点] 本题考查了导数的定义的知识点.
[解析]
二、填空题1. 微分方程xy'=1的通解为______.
ln|x|+C
[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法.
y=ln|x|+C.
2. 若D是中心在原点、半径为a的圆形区域,则
______.
[解析] 本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点.
.
3. 设D为圆x
2+y
2=1及x
2+y
2=4围成的环形区域,则
4. 方程y"+y'+y=2xe
-x的特解可设为y*=______.
(Ax+B)e-x(A、B为待定常数)
[解析] 本题考查了二阶线性微分方程的特解的知识点.
方程y"+y'+y=0的特征方程为r
2+r+1=0,特征根
方程的非齐次项为2xe
-x,-1不是特征根,故原方程有特解y*=(Ax+B)e
-x,A、B为待定常数.
5. 设区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},则
______.
7. 直线l:
的方向向量为______.
{-2,1,2}
[解析] 直线l的方向向量为
8. 设区域D由y轴,y=x,y=1所围成,则
=______.
9. 微分方程xdx+ydy=0的通解是______.
x2+y2=C
[解析] 分离变量,得ydy=-xdx.
两边积分,有y2=-x2+C.
10. 求下列函数的定义域.
.