一、选择题2. 设y=3-lnx,则y'=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
,因此选D.
3. 设区域D={(x,y)|x
2+y
2≤a
2,a>0,y≥0),则
等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
5. 下列函数在x=0处不可导的是______
A.arcsinx
B.3
x C.
D.tanx
A B C D
C
[解析] 由
,则
,故f'(0)不存在,故C.
8. 设
,则f'(x)=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.
注:因e
2是常数,所以(e
2)'=0.
9. 曲线y=lnx在点(e,1)处切线的斜率为______.
A.e
2 B.e
C.1
D.
A B C D
D
[解析] 本题考查的知识点为导数的几何意义.
由导数的几何意义可知,若y=f(x)在点x
0处可导,则曲线y=f(x)在点(x
0,f(x
0))处必定存在切线,且切线的斜率为f'(x
0).
由于y=lnx,可知
可知应选D.
10. 函数y=ln(1+x
2)的单调增加区间是______.
- A.(-5,5)
- B.(-∞,0)
- C.(0,+∞)
- D.(-∞,+∞)
A B C D
C
[解析] 本题考查的知识点为判定函数的单调性.
y=ln(1+x
2)的定义域为(-∞,+∞).
当x>0时,y'>0,y为单调增加函数.
当x<0时,y'<0,y为单调减少函数.
可知函数y=ln(1+x
2)的单调增加区间是(0,+∞),故应选C.
11. 若
,则数项级数
______
- A.收敛
- B.发散
- C.收敛且和为零
- D.可能收敛也可能发散
A B C D
D
[解析] 本题考查了数项级数收敛的必要条件知识点.
是级数
收敛的必要条件,但不是充分条件,从例子
收敛,
发散,即可知应选D.
12. 设有直线
当直线l
1与l
2平行时,λ等于______.
A.1
B.0
C.
D.-1
A B C D
C
[解析] 本题考查的知识点为直线间的关系.
直线
其方向向量 s
1=(1,2,λ),s
2=(2,4,-1).
l
1∥l
2,则
从而
,可知应选C.
14. 下列函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是______
A.
B.lnx
C.
D.
A B C D
B
[解析] lnx在[1,e]上有定义,所以在[1,e]上连续,且
在(1,e)内有意义,所以lnx在(1,e)内可导,选B.
17. 设函数f(x)在点x
0的某邻域内可导,且f(x
0)为f(x)的一个极小值,则
等于______
A B C D
B
[解析] 本题考查了函数的极值的知识点.
因f(x)在x=x
0处取得极值,且可导,于是
.
26. 设
,则Ф'(x)等于______
- A.tanx2
- B.tanx
- C.sec2x2
- D.2xtanx2
A B C D
D
[解析] 本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点.
因
是复合函数,于是Ф'(x)=tanx
2·2x-2xtanx
2.
29. 设y=3-lnx,则y'=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
,因此选D.
二、填空题1.
______.
[解析] 本题考查了第一类换元积分法的知识点.
2. 设
,则
______.
3. 要使y=arcsinau(a>0),u=2+x
2能构成复合函数,则a取值范围是______.
[解析] 因为由常见函数y=arcsinQ(x),这里的|Q(x)|≤1,-1≤Q(x)≤1,即-1≤au≤1,0<a(2+x
2)≤1,有0<2a≤a(2+x
2)≤1,得
又由a>0可知a的取值范围为
4. 设f(x)=2
x,g(x)=x
2,则f'[g'(x)]=______.
5. 设
,则y'=______.
[解析] 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.
因为
,所以y'=
.
6. 微分方程y'=x的通解为______.
[解析] 本题主要考查求解可分离变量微分方程.
,即dy=xdx,则
7. ∫(x-5)
4dx=______.
[解析] 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法.
8. 二阶常系数齐次线性方程y"=0的通解为______.
y=C1+C2x
[解析] y"=0,特征方程为r2=0,特征根为r=0(二重根),于是二阶常系数齐次线性方程的通解为y=C1+C2x.
9. 设z=x
2+y
2-xy,则dz=______.
(2x-y)dx+(2y-x)dy
[解析] f(x,y)=x
2+y
2-xy,
从而
于是
dz=(2x-y)dx+(2y-x)dy.
10. 设f(x)=(1+x
2)arctanx,则f'(0)=______.