第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2. 下列关系正确的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查不定积分的性质.
[解析] 由不定积分的性质可知
=f(x)dx.
3.
(x
2+1)dx=______.
A.
(x
2+1)+C
B.2sin(x
2+1)+C
C.
(x
2+1)+C
D.2xsin(x
2+1)
A B C D
A
[考点] 本题考查利用凑微分法求解不定积分.
[解析]
(x
2+1)=
(x
2+1)d(x
2+1)
=
(x
2+1)+C.
=
(x
2+1)+C.
5.
=6,则a的值为______.
A.-1
B.1
C.
D.2
A B C D
A
[解析] 因为x→0时分母极限为0,只有分子极限也为0,才有可能使分式极限为6,
故
[(1+x)(1+2x)(1+3x)+a]=1+a=0,解得a=-1,
所以
6. 设f(0)=0,且f'(0)存在,则
=______.
A.f(0)
B.
C.f'(0)
D.2f'(0)
A B C D
D
[考点] 本题考查导数的定义.
[解析]
=2f'(0).
9.
=______.
A.-x
-1+e
-x+C
B.-x
-1-e
-x+C
C.
-e
-x+C
D.
-e
-x+C
A B C D
B
[解析]
=-x
-1-e
-x+C.
10. 设
=
ln(1+x
2)+C,则
=______.
A.arctanx+C
B.arccotx+C
C.
(1+x
2)+C
D.
+C
A B C D
A
[解析] 由于
=
(1+x
2)+C,则有
因此
=arctanx+C
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. ∫(2x-1)
2dx=______.
(2x-1)
3+C
[解析]
=
(2x-1)
2d(2x-1)
=
(2x-1)
3+C.
2.
=______.
[考点] 本题是对反常积分的考查.
[解析]
3. 设区域D:
≤x
2+y
2≤
,则
=______.
π
[解析] 区域D为一个圆环,且该圆环的面积为S=
=2π.因此
4. 已知f(0)=1,f(1)=2,f'(1)=3,则
=______.
2
[解析] 分部积分的考查.
=f'(1)-f(x)
=f'(1)-f'(1)+f(0)=2.
5. 设f(1)=1,
=1,则
=______.
0
[考点] 本题是对利用分部积分法求定积分的考查.
[解析]
=
=f(1)-1-0.
6. 设z=u
2·lnv,u=
,v=
,则dz=______.
y3dx+3xy2dy
[解析] 将u=
,v=
代入z=u
2·lnv,可得z=xy
3.因此
dz=d(xy
3)=y
3dx+3xy
2dy.
7. 设z=2x
2y+cosy,则
=______.
1
[解析] 由于
=2x
2-siny,因此
=1.
8. 设z=x
2y
2+3x,则
=______.
3x
[解析]
=2xy
2+3,
=2x
2y.因此
=2x
2y
2+3x-2x
2y
2=3x.
9. 二元函数z=x
2+3xy+y
2+2x,则
=______.
3
[解析] 由于
=2x+3y+2,因此
=3.
10. 设y=
,则y"=______.
[解析]
三、解答题共70分,解答应写出推理、演算步骤.1. 求曲线y=
+2在点(1,3)处的切线方程和法线方程.
由y=
+2得,y'=
.
由导数的几何意义可知曲线在点(1,3)处的切线斜率为y'(1)=-1.
又切线过点(1,3),由直线方程的点斜式,可得切线方程为
y-3=-(x-1),
即 x+y-4=0.
又知法线的斜率为
=1,从而可得法线方程为
y-3=x-1.
即 x-y+2=0.
2. 求函数y=x
3-2x
2的单调区间、极值及函数曲线的凹凸区间和拐点.
函数的定义域是(-∞,+∞),y'=3x
2-4x.
令y'=0,解得驻点x
1=0,x
2=
.
当x<0或x>
时,y'>0;当0<x<
,y'<0.
因此函数的单调增区间是(-∞,0)∪(
,+∞),单调减区间是(0,
).
又y"=6x-4,而
=-4<0,
=4>0.
因此x=0是极大值点,极大值为y(0)=0;x=
是极小值点,极小值为
.
令y"=0,解得x=
.
当x<
时,y"<0;当x>
时,y">0.
因此曲线在(-∞,
)是凸的,在(
,+∞)上是凹的,且拐点是
.
3. 设f(x)=
,在x=0处连续,求k值.
本题考查函数极限与连续的关系.首先求得
由于f(x)在x=0处连续,
因此e
-2=k
2=f(0),解得k=±e
-1.
4. 求微分方程y"+2y'+y=x的通解.
y"+2y'+y=x对应的齐次微分方程的特征方程为
r2+2r+1=0.
解得特征根为r=-1,且为二重根.
因此齐次微分方程y"+2y'+y=0的通解为Y=(C1+C2x)e-x.
原非齐次方程的自由项为f(x)=x,且α=0不是特征根,
则可设y*=Ax+B为原非齐次方程的一个特解,代入原非齐次方程,可得
2A+Ax+B=x.
对比等式两端系数,可得A=1,B=-2.因此y*=x-2.
则原微分方程的通解为
y=Y+y*=(C1+C2x)e-x+x-2(C1,C2为任意常数).
5. 求微分方程xy'+y=e
x满足初始条件
=e的特解.
所给微分方程为一阶线性微分方程,化为标准方程得
令P(x)=
,Q(x)=
,由通解公式y=
+C],得
又
=e+C=e,可得C=0.因此所求特解为y=
.
6. 求曲线y=
的水平渐近线和铅直渐近线.
首先可知函数y=
在点x=2处没定义,而
因此曲线的铅直渐近线是x=2.
又
因此曲线的水平渐近线是y=0.
7. 计算
(x
2-1)dx.
利用换元法求解该定积分.
令t=
,则x=t
2,dx=2tdt.
当x=0时,t=0;当x=1时,t=1.因此
8. 计算
.其中D是由y=x,x=0,y=1所围成的平面区域.
由区域D所围图形的特征可知,区域D既可看作X型区域,又可看作Y型区域.由于
不容易求得原函数,因此先对x积分,再对y积分,即把区域D看作Y型区域,所求二重积分会更容易求解.此时区域D可表示为
0≤x≤y,0≤y≤1.
则