第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 若
,则a=______.
1
[解析]
,解得a=1.
2. 设函数f(x)=
,在x=0处连续,则a=______.
[解析]
3. 设f(x)=x
3-2x
2+5x+1,则f'(0)=______.
5
[解析] 由f(x)=x3-2x2+5x+1,则f'(x)=3x2-4x+5,故f'(0)=5.
4. 已知z=f(xy,x
2),且
都存在,则dz=______.
[解析] 因为
,所以dz=
5. 已知y=xe
-2x,则y"=______.
4(x-1)e-2x
[解析] y'=e-2x-2xe-2x=(1-2x)e-2x,y"=-2e-2x-2(1-2x)e-2x=4(x-1)e-2x.
6. 设函数y=arcsinx,则dy=______.
[解析] y'=(arcsinx)=
7. 函数y=x-ln(1+x)的驻点为x=______.
0
[解析] 根据定义,使f'(x)=0的点称为函数f(x)的驻点.因此有y'=1-
=0,得x=0.
8. 已知f'(sinx)=cos
2x,则f(x)=______.
[解析] 令sinx=t,f'(t)=1-t
2,f(t)=
+C,换元后则有f(x)=x-
+C.
9.
=______.
1
[解析]
10. 设f(x)=e
x,g(x)=x
3,则
=______.
[解析] 因为g'(x)=3x
2,即f[g'(x)]=
,所以
.
三、解答题共70分,解答应写出推理、演算步骤.1. 计算
2. 求由方程2x
2+y
2+z
2+2xy-2x-2y-4z+4=0确定的隐函数的全微分.
解:等式两边对x求导,将y看作常数,则
,同理
,所以
+(y+x-1)dy].
3. 某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池,其容积是
,池底的材料30元/m
2,池壁的材料20元/m
2,问如何设计,才能使成本最低,最低成本是多少元?
解:设池底半径为rm,池高为hm(如图),则
.
又设制造成本为S,则S=30·πr
2+20·2πrh=30πr
2+40πrh,
构造拉格朗日函数:
L=30πr
2+40πrh+λ(πr
2h-
).
所以r=1为唯一的极小值点,即为最小值点.
因此,底半径为1m,高为
时,可使成本最低,最低成本为90π元.
4. 设函数
,其中f(u)可导.证明:
解:等式两边分别对x,y求导得
5. 设连续函数f(x)=
.
解:设
,则f(x)=lnx-c,故c=
=(x·lnz)
-c(e-1)=e-(e-1)-c(e-1)=1-c(e-1),所以c=
,故
.
6. 甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为0.6和0.8,求此密码被破译的概率.
解:设A=“甲破译密码”,B=“乙破译密码”,C=“密码被破译”,则C=A+B,所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.8-0.6×0.8=0.92.
7. 设f(x)在[a,b]上连续,证明:
.
解:令a+b-x=t,则dx=-dt.x=a时,t=b;x=b时,t=a,所以
f(a+b-x)dx=
=左边.
8. 设函数y=ax
3+bx+c在点x=1处取得极小值-1,且点(0,1)为该函数曲线的拐点,试求常数a,b,C.
解:由y(1)=-1得a+b+c=-1. ①
由拐点y(0)=1得c=1. ②
函数在点x=1处取得极值必有:
=3a+b=0. ③
联立①②③,可解得a=1,b=-3,c=1.