第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设f(x)的一个原函数为lnx,则f(x)等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] f(x)=(lnx)'=
,所以选A.
3. 函数y=f(x)有f'(x
0)=
,当Δx→0时,函数在x=x
0处的微分dy等于______.
A.2dx
B.
C.dx
D.0
A B C D
B
[解析] 因为dy=y'fx=
,故选B.
5. 把两封信随机地投入标号为1,2,3,4的4个邮筒中,则1,2号邮筒各有一封信的概率等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 因两封信投向四个邮筒共有的投法(可重复排列)为n=4
2=16;满足1,2号邮筒各有一封信的投法为k=
=2,故所求概率为
.
6. 设函数f(x)=x
3+e
3+3
x,则f'(x)等于______.
A.3x
2+3
xln3
B.3x
2+3e
2+x·3
x-1 C.
D.
A B C D
A
[解析] (x3)'=3x2(e3)'=0,(3x)'=3xln3,所以f'(x)=3x2+3xln3.
7. 设函数f(x)=
,则f(x)有______.
A.极大值
B.极大值
C.极小值
D.极小值
A B C D
D
[解析] f'(x)=x-1,f"(x)=1>0,所以f(x)有极小值f(1)=
=
,所以选D.
8. 设函数z=sin(xy
2),则
等于______.
- A.y4cos(xy2)
- B.-y4cos(xy2)
- C.y4sin(xy2)
- D.-y4sin(xy2)
A B C D
D
[解析] z对x求偏导时应将y视为常数,则
=-y
2sin(xy
2)·y
2=-y
4sin(xy
2),所以选D.
9. 事件A,B满足AB=A,则A与B的关系为______.
A.A=B
B.A
B
C.A
B
D.A=
A B C D
B
[解析] AB=A,则A
AB(AB
A,按积分的定义是当然的),即当ω∈A时,必有ω∈AB,因而ω∈B,故A
B.
10. 设函数f(x-1)=x
2+e
-x,则f'(x)等于______.
- A.2x-ex
- B.2(x-1)-ex-1
- C.2(x+1)-ex+1
- D.2(x+1)-e-(x+1)
A B C D
D
[解析] 由f(x-1)=x
2+e
-x,得f(x)=(x+1)
2+e
-(x+1),则有f'(x)=2(x+1)-
,选D.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 设f(x)=
,则f'(1)=______.
[解析] 因为f'(x)=arctan
,所以f'(1)=
.
2. 曲线y=
+1的水平渐近线是______.
y=1
[解析] 因为
,故曲线有水平渐近线y=1.
3. 当f(0)=______时,f(x)=
在x=0处连续.
mk
[解析]
,所以当f(0)=km时,f(x)在x=0处连续.
4. 设f(x)=e
x,g(x)=x
2,则
=______.
[解析] f(g(x))=e
g(x)=
,所以
.
5. 设z=u
2lnv,u=
,
,则出=______.
y3dx+3xy2dy
[解析] 因为z=u
2lnv,
,所以z=
·x
3y=xy
3,于是
6. 若x=0是函数y=sinx-ax的一个极值点,则a=______.
1
[解析] 若x
0是f(x)的极值点,且f(x)在x
0处可导,则必有f'(x
0)=0.因此有
=0,得a=1.
7. 设y=ln(x+cosx),则y'=______.
[解析] y'=[ln(x+cosx)]'=
.
8. 设y=sinx,则y
(10)=______.
-sinx
[解析] 由y=sinx,且y
(n)=sin(n·
+x),则y
(10)=
=sin(5π+x)=sin(π+x)=-sinx.
9. 设y=ln(a
2+x
2),则dy=______.
[解析] 因为y'=
,所以dy=
.
10. 已知z=x
y,则
=______.
0
[解析]
三、解答题共70分,解答应写出推理、演算步骤.1. 设函数
,求dy.
解:因为
2. 求函数z=
在条件2x+y=5下的极值.
解:构造拉格朗日函数:
设F(x,y,λ)=x
2+y
2+λ(2x+y-5),则令
由①与②消去λ得x=2y,代入③得4y+y-5=0,解得y=1,则x=2,
所以x
2+y
2极值点为(2,1),那么
极值点也为(2,1),
所以x(2,1)=
为极值.
3. 计算
.
解:
=tanx-2ln|cosx|+C.
4. 设z=xy+
,其中f(u)是二阶可微的,证明:
5. 设f(x)的一个原函数为arctanx,求
解:因为f(x)=(arctanx)'=
,所以
=x-arctanx+C.
6. 一枚5分硬币,连续抛掷3次,求“至少有1次国徽向上”的概率.
解:一枚5分硬币抛掷1次可能出现2种情况:正面或反面(国徽或字面),连续抛掷3次,共有
种可能.
设A={至少有1次国徽向上},则
={全部是字面向上},故
,P(A)=1-
7. 设z=z(x,y)由方程e
z-x
2+y
2+x+z=0确定,求出.
解:对等式两边求微分得
d(e
z)-d(x
2)+d(y
2)+d(x+z)=0,e
zdz-2xdx+2ydy+dx+dz=0,解得dz=
[(2x-1)dx-2ydy].
8. 某旅游车的乘车人数限定为100人,票价p(单位:元)与乘车人数x满足p=(6-
)
2,试求乘车人数为多少时,所得的票款收入最多?此时的票价是多少?
解:设收入的票款为y,则有y=x·p=x(6-
)
2(0≤x≤100),
y'=
.
令y'=0,得x
1=80,x
2=240(舍去).
当0<x<80时,y'>0;当80<x<100时,y'<0.
由于只有唯一驻点,所以当乘车人数x=80时,票款的收入y(80)为最多,此时的票价为
=16(元).