第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列极限等于1的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
=0(arctanx是有界函数);
[用无穷小代换:arctanx~x(x→0)];
(x→∞时,
为无穷小量,而sinx是有界函数,注意
).
2. 若事件A发生必然导致事件B发生,则事件A和B的关系一定是______.
A.A
B
B.A
B
C.对立事件
D.互不相容事件
A B C D
A
[解析] P(B|A)=
.
3. 已知f(x)=x+e
x,g(x)=lnx,则f[g'(x)]等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] f[g'(x)]=g'(x)+e
g'(x),因为g'(x)=
,所以f[g'(x)]=
.故选B.
6. f(x)=
,则f'(1)=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因为
,故
f'(1)=
7. 设f(x)为连续函数,则
等于______.
A.
B.
C.
D.f(2)-f(0)
A B C D
B
[解析]
=
,所以选B.
8. 设f(x)是可导的连续函数,则
等于______.
A.f(3)-f(1)
B.f(9)-f(3)
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为
,所以选D.
9. 已知
等于______.
A.-2
B.-1
C.
D.1
A B C D
B
[解析] 因为
.当x=2时,得
=-1,故选B.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 设
在x=0处的极限存在,但不连续,此时a≠______.
1
[解析] 由于
,所以只需a≠1.
2. 设y=arccosx,则y'=______.
[解析] 使用反函数求导法,y'=
,那么x=cosy,x'=-siny=
,所以
3.
=______.
ln|x+1|-ln|x+2|+C
[解析]
=ln|x+1|-ln|x+2|+C.
4. 设函数f(x)=
,则函数的间断点是x=______.
0
[解析] 因为
,所以x=0为无穷间断点.
5. 不定积分
=______.
[解析]
6. f(x)=e
-x,
=______.
[解析] 因为f'(x)dx=df(x),则有f'(2x)d(2x)=df(2x),所以
.
7. 当x→0时,1-cosx与x
k是同阶无穷小量,则k=______.
2
[解析]
8. 当x→0时,ln(1+ax)(a≠0)是2x的同阶但不等价无穷小量,则a≠______.
2
[解析]
9. 已知P(A)=0.8.P(B|A)=0.5,则P(AB)=______.
0.4
[解析] P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.5=0.4.
10.
=______.
2π
[解析] 积分区间对称,奇函数的积分为0
.
三、解答题共70分,解答应写出推理、演算步骤.1. 计算
解:
-arcsinx=-
-arcsinx+C.
2. 在曲线y=sinx(0≤x≤
)上求一点M
0,使得图中阴影部分面积S
1与S
2之和S=S
1+S
2为最小.
解:画出平面图形如图所示.设点M
0的横坐标为x
0,则S
1与S
2如图阴影区域所示.
令S'=0,得
(舍去),所以y
0=
.
由于只有唯一的驻点,所以
,即点M
0的坐标
为所求.
3. 设函数y=cos(lnx),求y'.
解:y'=-sin(lnx)·(lnx)'=
.
4. 设函数y=
.
解:因为y'=
5.
解:
6. 设x
1=1,x
2=2均为y=alnx+bx
2+3x的极值点,求a,b.
解:由y=alnx+bx
2+3x,则y'=
+2bx+3.因为x
1=1,x
2=2是极值点,所以
=0,
=0,即
解得a=-2,b=
.
7. 当x>0时,证明:e
x>1+x.
证:设f(x)=ex-1-x,则f(0)=0.因为f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)是单调增加函数,即x>0时,f(x)>f(0),即ex-1-x>0,所以ex>x+1.
8. 一个袋子中有编号为1,2,3,4,5的5个球,从中任取3个球,以X表示取出的3个球中的最大号码,求随机变量X的分布列,并求E(X).
解:一次取3个球最大号码只能是3,4,5.当X取3时样本点数为1(只能是1,2,3一种),而X取4和5时,其样本点数分别为
,而样本空间中的样本点数为
,所以
P(X=3)=
,
P(X=4)=
,
P(X=5)=
.
则E(X)=
.