一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.3. 已知向量组α
1=(1,2,-1,1)
T,α
2=(2,0,a,0)
T,α
3=(0,-4,5,1-a)
T的秩为2,则a=______
A B C D
D
[解析]
,由于α
1,α
2,α
3的秩为2,则r(B)=2,故a=3.
8. 设A、B为两个互不相容的随机事件,且P(B)>0,则下列选项必然正确的是______
A.P(A)=1-P(B)
B.P(A|B)=0
C.P(A|B)=1
D.
A B C D
B
[解析] A、B互不相容,则
,即P(AB)=0,所以P(A|B)=0,故选B.
9. 设随机变量X的概率密度函数为
则A=______
A.
B.1
C.2
D.4
A B C D
B
[解析] 由概率密度函数的性质知
,则A=1(A=-1舍去).故选B.
二、填空题1. 设
在x=0处连续,则k=______。
2
[解析] 因为
,
f(0)=k,则由连续定义可知
,所以k=2.
2. 设
,则f(x)=______。
[解析] 对
两边求导得
2f(2x-1)=e
-x-xe
-x=(1-x)e
-x,即
,
设t=2x-1则
,代入得
,
所以
3.
[解析]
4. 已知E(X)=3,D(X)=5,则E(X+2)
2=______。
30
[考点] 本题考查了随机变量数字特征的关系.
[解析] E(X)=3,E(X+2)=5,D(X)=5,D(X+2)=5,则
E(X+2)2=D(X+2)+[E(X+2)]2=5+25=30.
6. 设X~B(2,p),Y~B(3,p),且
,则P(Y≥1)=______。
7. 曲线y=3x
2-x
3的凸区间为______。
(1,+∞)
[解析] y'=6x-3x2,y"=6-6x.令y"<0得6-6x<0,即x>1,故曲线y=3x2-x3的凸区间为(1,+∞)。
8. 设函数f(x)在x=x
0处可微,且f'(x
0)≠0,则当|Δx|很小时,f(x
0+Δx)≈______。
f(x0)+f'(x0)Δx
[解析] 由微分的定义可知,f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx.
9. 若函数
,则f(x)=______。
10. 随机变量ξ的密度函数
则常数k=______。
[解析]
,所以
三、计算题本大题共60分.设,1. 求出A-E,A
2-E是否可逆,若可逆说明理由,并求出(A-E)
-1;
解:
因为
|A-E|=-1≠0,|A
2-E|=-9≠0,
故
A-E与A
2-E均可逆,
又A-E为初等矩阵,易知
2. 问是否存在兰阶矩阵X,使得AX+E=A
2+X,若存在,求出矩阵X。
解:由
AX+E=A
2+X
得
(A-E)X=(A-E)(A+E),
又A-E可逆,上式两边同时左乘(A-E)
-1得
3. 计算不定积分
。
解:利用换元积分法,令
,则
,于是
4. 当λ为何值时,线性方程组
有唯一解?无解?有无穷多解?并在有解时求出其全部解。
解:该线性方程组所对应的增广矩阵为
(1)当λ≠-1,0,1时,
,方程组有唯一解.
方程组唯一解为
(2)当λ=-1时,
同解方程组
即
通解为
所以λ=-1时,方程组有无穷多解.
(3)当λ=0时,
,方程组无解.
(4)当λ=1时,
,该线性方程组无解.
5. 解线性方程组
解:由题意得,该线性方程组所对应的增广矩阵为
,A为系数矩阵;
为增广矩阵.基础解系含解向量个数为2.
同解的齐次方程组为
令x
2=1,x
5=0,得η
1=(-3,1,0,0,0)
T;
令x2=0,x5=1,得η2=(3,0,0,2,1)
T;
同解的非齐沃芳程组为
取x
2=x
5=0,得x
4=-4,x
1=-5,
得到非齐次方程特解(-5,0,0,-4,0)
T,
原方程组的通解为:
6. 设函数y=y(x)由
确定,求y"。
7. 求微分方程
的通解。
解:将原方程写成
,则
8. 求y
3+x
3-3xy=0确立的隐函数的导数
。
解:令F(x,y)=y
3+x
3-3xy,
F
x=3x
2-3y,
F
y=3y
2-3x,
9. 设X的密度函数为
,x∈(-∞,+∞),求X的数学期望E(X)和方差D(X)。
解:
四、证明与应用题每小题10分,共30分.1. 计算由曲线xy=1和直线y=2,x=3及x,y轴所围成的平面图形的面积。
解:根据二重积分的几何意义,得所求平面图形的面积
我们也可以通过定积分的应用,取z为积分变量,则
2. 证明:当x>0时,e
x-1>(1+x)ln(1+x)。
证:构造函数
f(x)=e
x-1-(1+x)ln(1+x),
则
,
当x>0时,f"(x)>0,所以f'(x)>f'(0)=0,即f'(x)>0.
故f'(x)在(0,+∞)上单调递增.又f'(x)在x=0连续,所以
当x>0时,f'(x)>f'(0)=0.
所以,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又f(x)在x=0连续,所以,当x>0时,f(x)>f(0)=0.
即
e
x-1>(1+x)ln(1+x).
3. 证明:方程x
5-5x=1在(1,2)上有且仅有一个实根。
证:构造函数f(x)=x5-5x-1,易得
f(1)=-5<0,f(2)=21>0,
又f(x)在[1,2]上连续,由零点定理知,f(x)在(1,2)上至少有一个零点;
又当x>1时,
f'(x)=5x4-5=5(x4-1)>0,
即f(x)在(1,2)上单调递增,
f(x)在(1,2)上最多有一个零点,所以f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点,
即方程x5-5x=1在(1,2)上有且仅有一个实根.