一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.3. 下列广义积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 根据广义积分收敛的定义进行计算验证,
只有
是收敛的,故应选D.
4. 设D是由y=x,y=-x和
所围成的区域,则
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 区域D为:
于是
5. 设齐次线性方程组
的系数矩阵为A,且存在3阶方阵B≠O,使AB=O,则______
- A.λ=-2且|B|=0
- B.λ=-2且|B|≠0
- C.λ=1且|B|=0
- D.λ=-1且|B|≠0
A B C D
C
[解析] B≠O,AB=O,即AX=O有非零解,故|A|=0且A不为零矩阵即
,解得λ=1.
若|B|≠0,则B
-1存在,AB·B
-1=A=O,
显然矛盾,故|B|=0,所以本题选C.
6. 当x→0时,若
,则可确定a的值一定是______
A.0
B.1
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由x→0时,
,可得
,即a=1,故选B.
7. 若
,则f(x)=______
A.x+1
B.x+5
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由题可知,
,故f(3)=4,因此排除B、D选项,再将A、C代入原极限等式,可知C正确.
8. A,B为两随机事件且P(B|A)=1,那么下列命题正确的是______
A.
B.
C.
D.P(B-A)=0
A B C D
A
[解析]
,则P(AB)=P(A),即
,故选A.
二、填空题1. 若
,|A|=-1,则a=______。
2
[考点] 考查矩阵行列式与其逆矩阵的行列式的关系.
[解析]
,故a=2.
2. 设工厂A和工厂B生产的产品的次品率分别为1%和2%,现从A和B厂生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A厂生产的概率是______。
[解析] 随机抽取一件产品是A厂生产的记为事件M,随机抽取一件产品是次品的记为事件N,则随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A厂生产的概率为
3. 设y=x
5+e
2x+3sinx,则y
(2017)=______。
22017e2x+3cosx
[解析] 因为(e
2x)
(n)=2
ne
2x,
,(x
5)
(n)=0,n>5.所以y
(2017)=2
2017e
2x+3cosx.
4. 已知X~N(2,σ
2),且P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)=______。
5. 函数
当a=______时,函数f(x)连续。
2
[解析]
,由于f(x)连续,故
6. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且
,则λ=______。
ln3
[解析]
,则λ=ln3·
7. 设函数f(x
2+1)=x
4+4x
2+3,则f(x-2)=______。
x2-2x
[解析] f(x2+1)=x4+4x2+3=(x2+1)2+2(x2+1),f(t)=t2+2t,再用t=x-2代入得f(x-2)=(x-2)2+2(x-2)=x2-2x.
8. 10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买一张,则前3个购买者中恰有一个中奖的概率为______。
[解析] 前3个购买者购买奖券的情况共有
种,前3个购买者中恰有一个中奖的情况有
种,所以前3个购买者恰有一个中奖的概率为
9. 矩阵
的秩是______。
3
[解析]
,故r(A)=3。
10. 设矩阵B的秩为2,
,则λ=______。
1
[解析] 由于r(B)=2<3,故|B|=0,即
,故λ=1.
三、计算题本大题共60分.1. 求
,其中区域D由直线y=x,y=2x,y=2围成。
2. 计算
,其中区域D由直线y=0,y=x及x=1围城。
解:积分区域如图所示:
由被积表达式知,该题必须先积y,于是:
4. 计算
,其中积分区域D为x
2+y
2≤1。
解:积分区域D如图所示,这里0≤r≤1,0≤θ≤2π,
故有
5. 计算二次积分
。
解:应交换积分次序.
6. 求微分方程
满足条件y|
x=π=1的特解。
解:
代入初值条件x=π,y=1,得C=π-1,故所求特解为
7. 求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足y|
x=e=1的特解。
解:原方程可化为
,
于是,方程有通解
将初始条件y|
x=e=1代入,有
,故满足条件的特解为
8. 已知矩阵
,AB=A+2B,求矩阵B。
解:由AB=A+2B,得(A-2E)B=A,又
,
所以A-2E可逆,且
,
所以
四、证明与应用题每小题10分,共30分.1. 设平面图形D是由曲线y=e
x,直线y=e及y轴所围成的,求:
(1)平面图形D的面积S;
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V.
解:平面图形D如图所示:
取x为积分变量,且x∈[0,1],
(1)平面图形D的面积为
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积为
或
2. 验证函数
满足方程
。
3. 证明方程x=asinx+b(其中a>0,b>0)在(0,a+b]上至少有一个根。
证:构造函数f(x)=x-asinx-b,f(x)显然在(0,a+b]上连续,且
f(0)=-b<0,
f(a+b)=a[1-sin(a+b)]≥0.
当f(a+b)=0时,x=a+b就是满足题意的一个根;
当f(a+b)>0时,f(0)f(a+b)<0,由零点存在定理知,
至少存在一点ξ∈(0,a+b),使得f(ξ)=0,即原方程在(0,a+b)内至少有一个根.
综上所述,x=asinx+b在(0,a+b]上至少有一个根.