第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.
A.
B.
C.
D.e
6 A B C D
B
[考点] 本题考查了函数极限的知识点,
[解析]
3.
A.
B.1
C.2
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查了分式函数的极限的知识点.
[解析]
4. 设函数f(x)=3+x
5,则f'(x)=______
A.x
4 B.1+x
4 C.
D.5x
4 A B C D
D
[考点] 本题考查了一阶导数的知识点,
[解析] f'(x)=(3+x5)'=5x4.
5. 设函数f(x)=2lnx,则f"(x)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题考查了二阶导函数的知识点.
[解析]
7.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查了不定积分的知识点,
[解析]
8. 把3本不同的语文书和2本不同的英语书排成一排,则2本英语书恰好相邻的概率为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查了随机事件的概率的知识点.
[解析] 2本英语书恰好相邻的概率为
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 设函数y=e
2x,则dy=______.
2e2xdx
[考点] 本题考查了函数微分的知识点.
[解析] y'=(e2x)'=2e2x,故dy=y'dx=2e2xdx.
2. 函数f(x)=x
3-6x的单调递减区间为______.
[考点] 本题考查了函数的单调性的知识点.
[解析] 易知f
'(x)=3x
2-6,令f
'(x)<0,则有
,故f(x)的单调递减区间为
.
3. 若函数
在x=0处连续,则a=______.
-2
[考点] 本题考查了分段函数连续性的知识点.
[解析] 由于f(x)在x=0处连续,故有
,而f(0)=-2,
,因此a=-2.
4.
1
[考点] 本题考查了函数极限的知识点.
[解析] x→0时,x
2→0,故有
5. ∫(3x+2sinx)dx=______.
[考点] 本题考查了不定积分的知识点.
[解析]
6. 曲线y=arctan(3x+1)在点
处切线的斜率为______.
[考点] 本题考查了函数切线的知识点.
[解析]
,故曲线在点
处的切线斜率为
7.
2sin(4x2)
[考点] 本题考查了定积分的性质的知识点.
[解析]
8.
e
[考点] 本题考查了反常积分的知识点.
[解析]
9. 区域D={(x,y)|1≤x≤2,1≤y≤x
2)的面积为______.
[考点] 本题考查了定积分的应用的知识点.
[解析] 区域D的面积为
10. 方程y
3+lny-x
2=0在点(1,1)的某邻域确定隐函数y=y(x),则
[考点] 本题考查了隐函数求导的知识点.
[解析] 方程两边对x求导,得
,即
,故有
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 计算∫xsinxdx.
解:∫xsinxdx=-∫xd(cosx)
=-(xcosx-∫cosxdx)
=-xcosx+∫cosxdx
=-xcosx+sinx+C.
3. 已知函数f(x)=e
xcosx,求
解:f'(x)=e
xcosx+e
x·(cosx)
' =e
xcosx-e
xsinx
=e
x(cosx-sinx),
f
"(x)=e
x(cosx-sinx)+e
x(cosx-sinx)
' =e
x(cosx-sinx)+e
x(-sinx-cosx)
=-2e
xsinx,
故有
5. 设D为曲线
,直线x=4,x轴围成的有界区域,求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.
解:区域D:0≤y≤2,y
2≤x≤4,
6. 求函数z=x
2+2y
4+4xy
2-2x的极值.
解:
得驻点为(1,0),(-1,1),(-1,-1).
B
2-AC=-16<0,且A>0,
故函数在(1,0)点有极小值,z
极小值=-1;
B
2-AC=32>0,故点(-1,1)不是极值点;
B
2-AC=32>0,故点(-1,-1)不是极值点.
因此函数在(1,0)点有极小值,z
极小值=-1.
7. 求曲线y=x
3-3x
2+2x+1的凹凸区间与拐点.
解:y'=3x2-6x+2,y"-6x-6,
令y"=0,得x=1.
当x>1时,y">0,故(1,+∞)为曲线的凹区间;
当x<1时,y"<0,故(-∞,1)为曲线的凸区间,
函数的拐点为(1,1).
已知离散型随机变量X的概率分布为
且E(X)=0.8. 求a,b;
由概率的性质可知a+0.5+b=1,
又E(X)=0,得-1×a+0×0.5+2×b=0,
9. 求E[X(X+1)].
E[X(X+1)]=E(X
2+X)=E(X
2)+E(X),
而E(X
2)=D(X)+[E(X)]
2 因此E[X(X+1)]=1+0=1.