一、单项选择题2. 设z=x
2y
2+3x,则
______
- A.2xy2+2x2y+3
- B.4xy2+3
- C.2xy2+3
- D.2xy2+2x2y
A B C D
A
[解析] 由于x=x
2y
2+3x,所以
.因此
6. 设3阶矩阵
,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有______
- A.a=b或a+2b=0
- B.a=b或a+2b≠0
- C.a≠b且a+2b=0
- D.a≠b且a+2b≠0
A B C D
C
[解析] 利用A的伴随矩阵的秩与A的秩之间的关系解本题.记A的伴随矩阵为A
*,则有
所以当r(A
*)=1时,r(A)=2.于是
,即a+2b=0或a=b.
由于当a=b时,r(A)<2,所以a,b应满足a+2b=0且a≠b.
因此本题选C.
8. 幂级数
的收敛半径及收敛域为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查了幂级数的收敛半径及收敛域的求解.
[解析] 设
,因为
,所以收敛半径
,而且
时,级数收敛,故收敛域为
.
三、计算题(本大题共64分)1. 求微分方程y"+4y'+3y=9e
-3x的通解.
解:特征方程:
,r
2=-3.
故对应的齐次方程y"+4y'+3y=0的通解为
,
因为α=-3是特征值,故可设特解为
y
*=Axe
-3x.
因为(y*)'=Ae
-3Axe
-3x,
(y
*)"=-3Ae
-3x-3(Ae
-3x-3Axe
-3x)=-6Ae
-3x+9Axe
-3x.
代入y"+4y'+3y=9e
-3x得
,
所以
,
故所求通解为
.
[考点] 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解.
[解析] 求解二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py'+qy=f(x)的一般步骤:(1)先求出其相应的齐次方程通解
;(2)再求出它的一个特解y
*;(3)y=C
1y
1+C
2y
2+y
*即为所求方程的通解.
2. 计肯德基
,其中区域D为:1≤x
2+y
2≤4.
解:由题意得,
3. 求微分方程2y"+y'-y=2e
x的通解.
解:该微分方程的特征方程为
所以该方程所对应的齐次方程通解为:
由于α=1不是特征根,故可设特解
y
*=Ae
x,
(y
*)'=Ae
x,(y
*)"=Ae
x,
代入得
A=1,y
*=e
x,
所以所求微分方程的通解为:
4. 求解下列线性方程组
解:
基础解系含解向量个数为2.
对应的同解齐次方程
令x
2=1,x
5=0,得(-3,1,0,0,0)
T;
令x
2=0,x
5=1,得(3,0,0,2,1)
T;
同解非齐次方程
取x
2=x
5=0,得x
4=-4,x
1=-5,
得到非齐次方程特解:(-5,0,0,-4,0)
T,
原方程组的通解为:
5. 直线过点A(-3,5,-9),且与两直线
相交,求此直线方程.
解:设所求直线方程
∵直线L与直线L
1、L
2相交,
∴
由方程组①与②得n=2l,m=22l,
令l=1,则m=22,n=2,
故所求直线方程为
6. 解线性方程组
解:用初等行变换把该线性方程组所对应的系数矩阵A化为行最简形矩阵:
与原线性方程组同解的方程组为
取x
3,x
4为自由未知量,得
所以,该方程组的通解为
7. 设函数y=f(x)由方程xy+5lnx=y
4所确定,求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程.
解:对于隐函数求导,方程两边同时对x微分,
则
∴y=f(x)在(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即2x-y-1=0.
8. 求幂级数
的收敛域(考虑区间端点).
解:因
于是,收敛半径
,得收敛区间为
当
时,级数为
收敛;
当
时,级数为
发散.
于是,收敛域为
四、应用题(本大题共16分)1. 求函数y=x
3-3x的单调区间、极值点及拐点.
由已知得,y'-3x2-3=3(x-1)(x+1),
令y'=0得x=1或x=-1,
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,y'>0,所以函数在(-∞,-1),(1,+∞)上单调增加;
当x∈(-1,1)时,y'<0,所以函数在[-1,1]单调减少,
所以x=1为极小值点,x=-1为极大值点;
y"=6x,令y"=0得到x=0,当x>0时y">0,当x<0时y">0,所以(0,0)是拐点.
2. 设D
1由曲线y=2x
2,直线x=a(0<a<2),x=2,y=0围成,D
2由曲线y=2x
2,直线x=a,y=0围成,D
1绕x轴旋转一周所成立体体积为V
1,D
2绕y轴旋转一周所成立体体积为V
2,问当a取何值时使V
1+V
2取得最大值,最大值为多少?
D
1,D
2如图所示,
令V'(a)=0,在区间(0,2)内有唯一驻点a=1,当0<a<1时,V'>0;当1<a<2时,V'<0,所以a=1为极大值点,即最大值点,最大值为