一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 交换二次积分
的积分次序后,I=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因积分区域D为:D=D
1+D
2,其中
D又可表示为0≤x≤1,x≤y≤2-x,
于是交换次序后积分为
故应选D
2. 设f'(cos
2x)=sin
2x,且f(0)=0,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] f'(cos
2x)=sin
2x=1-cos
2x,则f'(x)=1-x,
,又f(0)=0得C=0,
所以
,故应选D
4. 设
设有P
2P
1A=B,则P
2=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
由初等变换以及矩阵C、B的联系可知
故选B.
5. 已知f(2x)=x
2-2x,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由
得
故选C.
8. 下列各级数中收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
所以A项是发散的;
所以B项的是发散的;
所以C项也是发散的;
级数
为
的p
-级数,收敛,故由比较法可知级数
收敛,故选D.
10. 设f(x,y)为连续函数,
交换积分次序后得到______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 画出积分区域如图,交换积分次序,得
故选C.
二、填空题1. 设
则φ'(x)=______.
[解析]
2. 若级数
收敛于S,则级数
收敛于______。
2S-u1
[解析] 设S
n=u
1+u
2+…+u
n,
则(u
1+u
2)+(u
2+u
3)+…+(u
n+u
n+1)=2(u
1+u
2+…+u
n)+u
n+1-u
1
=2S
n+u
n+1-u
1,
又
,
∴
3. A,B均为三阶方阵,|A|=-2,|B|=4,则|-2A
2B
-1|=______.
-8
[解析] |A|=-2,|B|=4,所以|-2A
2B
-1|=(-2)
3|A|
2|B|
-1=(-8)·(-2)
2·
=-8.
4. 设
的收敛半径为R,则
的收敛半径为______。
[解析] 因为
的收敛半径为R,而
是缺偶次方项的级数,根据这两个级数收敛半径的关系知其收敛半径为
5. 函数f(x)=x
3在闭区间[0,2]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=______.
[解析] f'(x)=3x
2,
ξ∈(0,2),即
得
6. 函数
在[0,3]上满足罗尔定理条件的ξ=______.
2
[解析]
f(0)=0,f(3)=0,所以有f'(ξ)=0,即
所以ξ=2.
7. 函数
是连续函数,则a=______.
[解析]
由f(x)的连续性,知1-a=a,即
8. 如果X~N(2,σ
2),且P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)=______.
0.2
[解析]
9.
10. 幂级数
的收敛区间为______。
三、计算题本大题共60分.1. 计算
其中D是第一象限中由直线y=x和曲线y=x
3围成的封闭区域.
解:积分区域如图,因为二重积分的被积函数f(x,y)=e
x2,它适宜于“先对y积分,后对x积分”,故D可用不等式表示为:
于是,
2. 设三阶矩阵A,B,满足关系:A
-1BA=12A+BA,且
求矩阵B.
解:A
-1BA-BA=12A,则(A
-1-E)BA=12A,
又因为
所以
从而
所以
设连续型随机变量X的分布函数为
求:4. 概率密度f(x).
解:
6. 设
且矩阵X满足AX=A+2X,求X。
解:由AX=A+2X得AX-2X=A,即(A-2E)X=A,|A-2E|≠0,故A-2E可逆,
X=(A-2E)
-1A,又
从而
7. 设函数y=(x
2-3x)
cos2x,求
解:两边同取自然对数,得
lny=cos2x·ln(x
2-3x),
两边同对x求导,得
所以
8. 求齐次线性方程组
的基础解系。
解:设方程组的系数矩阵为A,
,
与原方程组同解得方程组为
,
一个基础解系是:
9. 计算
其中D是由y=1,y=x,y=2,x=0所围成的闭区域.
解:积分区域如图所示,