一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 设随机事件A与B相互独立,且
则P(A∪B)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
故选B.
2. ∫arctanxdx=______
A.
B.xarctanx-arctanx+C
C.
D.
A B C D
D
[解析]
故选D.
6. 设四阶方阵A=(α,γ
2,γ
3,γ
4),B=(β,γ
2,γ
3,γ
4),其中α,β,γ
2,γ
3,γ
4均为四维列向量,且|A|=4,|B|=-1,则|A+2B|=______
A B C D
D
[解析] |A+2B|=|α+2β,3γ2,3γ3,3γ4|=27|α,γ2,γ3,γ4|+27|2β,γ2,γ3,γ4|=27·4+27·2·(-1)=54,故选D.
7.
A.0
B.1
C.2
D.
A B C D
C
[解析]
故选C.
9. 下列级数中,条件收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
是
的级数,发散,但
是交错级数,且满足莱布尼茨条件,收敛,所以选项B是条件收敛.
10. 已知g(x)的一个原函数是xln(1+x
2),则∫g'(x)dx=______
A.xln(1+x
2)+C
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
故选B.
二、填空题1. 极限
[解析]
2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,在各个交通岗遇到红灯是相互独立的,其概率均为
则在途中至少遇到1次红灯的概率为______.
[解析] 设途中遇到红灯的次数为ξ,它服从二项分布,计算途中至少遇到1次红灯的概率较为复杂,所以我们计算它的互斥事件,即途中一次红灯也没遇到,其概率为
所以途中至少遇到一次红灯的概率为
3. 已知连续型随机变量X的概率密度为
则P(X≤1.5)=______。
0.875
[解析]
4. 设离散型随机变量X的分布函数为
则X的方差D(X)=______.
3.45
[解析] X的可能取值为-1,0,3,相应概率为P(X=-1)=0.3,P(X=0)=0.4-0.3=0.1,P(X=3)=1-0.4=0.6,所以E(X)=0.3×(-1)+0×0.1+0.6×3=1.5,E(X2)=(-1)2×0.3+02+0.1+32×0.6=5.7,故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5.7-(1.5)2=3.45.
5.
-105
[解析]
6. 函数y=log
x-1(16-x
2)的定义域为______.
(1,2)∪(2,4)
[解析] 联立不等式
可解得1<x<2,2<x<4.
7. 设
则f(x)=______.
[解析]
8. 设A,B为三阶方阵,|A|=4,AB=E,则|B|=______。
[解析] AB=E,则|A||B|=|E|,即4·|B|=1,故
9. 设函数
在x=0处连续,则a=______,b=______.
1,1
[解析] 由连续的定义可知,
即
可得a=1=b.
10. 设矩阵
B=A
2-3A+2I,则B
-1=______.
[解析]
三、计算题本大题共60分.设随机变量X的分布列为 X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | 0.1 | 0.1 | a | 0.3 | 0.2 |
1. 求常数a;
解:利用随机变量分布列规范性的性质,可求出a.
因为0.1+0.1+a+0.3+0.2=1,所以a=0.3;
2. 求P{0.5≤X<4};
解:P{0.5≤X<4}=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=0.1+0.3+0.3=0.7;
3. 求X的分布函数F(x)及F(3.2)。
解:当x<0,F(x)=0,
0≤x<1时,F(x)=0.1,
1≤x<2时,F(x)=0.1+0.1=0.2,
2≤x<3时,F(x)=0.1+0.1+0.3=0.5,
3≤x<4时,F(x)=0.1+0.1+0.3+0.3=0.8,
当x≥4时,F(x)=0.1+0.1+0.3+0.3+0.2=1.
所以
所以F(3.2)=0.8.
4. 求极限
解:
5. 一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度函数为
工厂规定,出售的设备若在售出—年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
一台设备在一年内调换的概率为
以Y记工厂售出一台设备的净赢利值,则Y具有的分布列为
Y
|
100
|
100-300
|
pk
|
e-1/4
|
1-e-1/4
|
故有
E(Y)=100×e
-1/4-200(1-e
-1/4)=300e
-1/4-200≈33.64(元).
7. 当a取何值时,线性方程组
有解,并求出其全部解.
解:方程组的增广矩阵
因此,当a=1时,r(B)=r(A)=2,方程组有解.
同解方程组为:
通解为
8. 计算
其中D是由直线y=x,2y=x及x=1围成的区域.
解:积分区域D如图所示.从被积函数的特点知,该积分应化为“先对y积分,后对x积分”的二次积分.
区域D可表示为:
则
9. 求微分方程
的通解.
解:所求方程通解为
其中C为任意常数.
10.
解:
四、证明与应用题每小题10分,共30分.1. 过曲线y=x
2(x≥0)上某点A作切线.若过点A作的切线,曲线y=x
2及x轴围成的图形面积为
求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V.
设A点坐标为
由y'=2x,得切线方程为
或
由已知
所以x
0=1,y
0=1,切线方程为2x-y-1=0,切线与x轴交点为
于是
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:2. 在(a,b)内,g(x)≠0;
证:用反证法证明:若存在x
0∈(a,b),使g(x
0)=0,则由罗尔定理得,必存在x
1∈(a,x
0)和x
2∈(x
0,b),使得g'(x
1)=g'(x
2).
再由罗尔定理得,存在ξ∈(x
1,x
2)
(a,b),使得g"(ξ)=0,这与g"(x)≠0,x∈[a,b]矛盾,所以在(a,b)内g(x)≠0;
3. (a,b)内至少存在一点ξ,使得
证:令F(x)=f(x)g'(x)=f'(x)g(x).由已知条件得,函数F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,故必存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0,即
f'(ξ)g'(ξ)+f(ξ)g"(ξ)-f"(ξ)g(ξ)-f'(ξ)g'(ξ)=0,
即
4. 已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ成立.
证:令F(x)=f(x)cosx,
F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx,
因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又因为f(0)=f(1)=0,所以F(0)=F(1)=0.
由罗尔定理有,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得F'(ξ)=0,即
f'(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0,
即f'(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ.