一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 微分方程y'=e
2x-y的通解为______
- A.yex=C
- B.ey=e2x+C
- C.2ey=e2x+C
- D.y=Cxe-x
A B C D
C
[解析] 由y'=e
2x-y得e
ydy=e
2xdx,从而
,即2e
y=e
2x+C.故应选C.
3. 直线
与直线
的关系为______
A B C D
C
[解析] 直线
的方向向量为
,直线
的方向向量为s
2=(1,0,-1),
由于1×2+0×(-1)+(-1)×2=0,
所以两直线垂直,故应选C.
三、计算题每小题8分,共80分.计算题要有计算过程.1. 设z=e
ucosy,u=2xy,v=x+y,求
.
解:由复合函数求偏导数法则可得
2. 求微分方程y"+5y'+4y=3-2x的通解.
解:所给方程对应的齐次方程为y"+5y'+4y=0,它的特征方程为r
2+5r+4=0,解得r
1=-1,r
2=-4,
故对应齐次方程的通解为Y=C
1e
-x+C
2e
-4x,
f(x)=3-2x,因为λ=0不是特征方程的根,
所以可设特解为y
*=ax+b,则(y
*)'=a,(y
*)"=0,
将以上_三式代入原方程,得4ax+5a+4b=-2x+3,
比较系数得
,即
,
所以原方程的通解为
.
3. 已知函数z=f(x,y)由方程e
-xy-2z+e
z=0所确定,求
.
解:令F(x,y,z)=e-xy-2z+ez,得F
x=-ye
-xy,F
y=-xe
-xy,F
z=-2+e
z,
则
4. 计算
,其中D由x
2+y
2=2Rx与y=x所围成的面积较小的区域.
解:圆x
2+y
2=2Rx在极坐标系下的方程为r=2Rcosθ,
区域D可表示为
,所以
5. 设函数y=alnx+bx
2+5x在x=1处取得极值,
为其拐点横坐标,求a,b之值.
解:函数在x=1处可导,
,
因函数在x=1处取得极值,所以y'(1)=a+2b+5=0,
又
是函数拐点的横坐标,所以
,
解得a=-1,b=-2.
6. 求定积分
.
解:
7. 计算二次积分
.
解: 由被积函数知,该二重积分如果先对y积分是不易积分的,它易于先对x积分,后对y积分.
因积分区域D为:
区域D又可表示为
于是
8. 求y"-y'=x+e
x的通解.
解:所给方程对应的齐次方程为y"-y'=0,它的特征方程为r
2-r=0.解得r
1=0,r
2=1,
于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y=C
1+C
2e
x,
对于方程y"-y'=x,因为λ
1=0是特征单根,
所以设
,
代入方程y"-y'=x得2A-2Ax-B=x比较系数得
,B=-1,则
;
对于方程y"-y'=e
x,因为λ
2=1是特征单根,
所以设
,
代入y"-y'=e
x得C[(x+2)-(x+1)]e
x=e
x比较系数得C=1,则
,
所以原微分方程的通解为
.
9. 计算曲线积分
,其中L是抛物线y=x
2上从点(-1,1)到点(1,1)的一段弧.
解:如下图,y=x
2,dy=2xdx,x:-1→1,
则有
10. 求不定积分
.
四、应用题与证明题每小题10分,共20分.应用题的计算要有计算过程,证明题要有证明过程.1. 求由曲线xy=2,4y=x
2及x=4所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.
解:所求图形的区域如图所示,则面积
绕x轴旋转所得的旋转体的体积
2. 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点c,使得
.
证:令F(x)=xf(x),则由题意可知F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
F(0)=F(1)=0,
故由罗尔定理可知至少存在一点c∈(0,1),使得F'(c)=0,即
[f(x)+xf'(x)]|
x=c=0,
故
.