一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.4. 微分方程(e
x+y-e
x)dx-(ey-e
x+y)dy=0是______
- A.可分离变量的微分方程
- B.齐次微分方程
- C.一阶线性非齐次微分方程
- D.一阶线性齐次微分方程
A B C D
A
[解析] 由题可知e
x(e
y-1)dx-e
y(1-e
x)dy=0,从而
,因而原方程为可分离变量的微分方程,故应选A.
二、填空题1. 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2019),则f'(0)=______.
2019!
[解析]
2.
=______.
arctanf(x)+C
[解析]
3. 设y+lny-2xlnx=0确定了函数y=y(x),则y'=______.
[解析] 因y+lny-2xlnx=0,令F(x,y)=y+lny-2xlnx,
则
4. 微分方程(1+e
x)yy'=e
x满足y|
x=0=0的特解为______.
y2=2ln(1+ex)-2ln2
[解析] 分离变量得
,两边积分得
,由y|
x=0=0代入得C=-ln2,故特解为y
2=2ln(1+e
x)-2ln2.
5. 过点M
0(3,2,-4),且在Ox轴和Oy轴上的截距分别为-2和-3的平面方程是______.
12x+8y+19z+24=0
[解析] 设平面的截距式方程为
,
此平面在Ox轴与Oy轴截距分别为-2和-3,且过点M
0(3,2,-4),
则
,解得
,代入得平面方程
12x+8y+19z+24=0.
三、计算题每小题8分,共80分.计算题要有计算过程.2. 设L为三个顶点分别为(0,0)、(1,0)和(0,1)的三角形边界,L的方向为逆时针方向,求
.
解:设Q(x,y)=x
2y-3xy
2,P(x,y)=xy
2-y
3,
则
,
设三角形区域为D,则由格林公式可得,
.
4. 已知L是曲线y=x
3上从点(1,1)到(-1,-1)的一条连续曲线段,计算曲线积分
.
解:由于
,故曲线积分与路径无关.选取从(1,1)到(1,-1)再到(-1,-1)的折线为积分路径,则
5. 求微分方程y"-y'-2y=sin3x的通解.
解:原方程对应的二阶常系数线性齐次方程的特征方程为r
2-r-2=0,解得r
1=-1,r
2=2,所以齐次方程的通解为Y=C
1e
-x+C
2e
2x,而λ=0±3i不是特征方程的根,故设原方程的特解为y
*=Asin3x+Bcos3x,则
(y
*)'=-3Bsin3x+3Acos3x,(y
*)"=-9Asin3x-9Bcos3x,
代入原方程得
-9Asin3x-9Bcos3x-(-3Bsin3x+3Acos3x)-2(Asin3x+Bcos3x)=sin3x,
整理可得(-11A+3B)sin3x-(3A+11B)cos3x=sin3x,由对应系数相等可得
则
,故特解为
.
所以原方程的通解为
.
6. 计算
,其中L是四个顶点分别为(0,0),(2,0),(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.
解:因为P=x2-xy3,Q=y2-2xy,
,
所以
7. 已知
解:由参数方程求导法则可得
8. 计算曲线积分
,其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.
解:因为
所以由格林公式得
9. 求微分方程y"+2y'-3y=e
的通解.
解:y"+2y'-3y=0对应的特征方程为
r
2+2r-3=0,
特征根为
r
1=1,r
2=-3,
因此齐次方程通解为
Y=C
1e
x+C
2e
-3x.
f(x)=e
2x,λ=2不是特征根,故设所给非齐次方程的特解
y
*=Ae
2x,
则(y
*)'=2Ae
2x,(y
*)"=4Ae
2x,将(y
*)',(y
*)"代入所原方程,得
4Ae
2x+4Ae
2x-3Ae
2x=e
2x,
即
,
即
,
故
.
10. 设参数方程
确定函数y=y(x),求
.
解:
,