一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 微分方程
的通解是______
- A.x2+y2=25
- B.3x+4y=C
- C.x2+y2=C
- D.y2-x2=7
A B C D
C
[解析] 由
,得
,分离变量得-xdx=ydy,
两边积分,得
,即x
2+y
2=C为原微分方程的通解,故应选C.
5. 已知f(x)的一个原函数为
,则
=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
,故应选C.
三、计算题每小题8分,共80分.计算题要有计算过程.2. 计算不定积分
解:
3. 求积分
,其中
,且f[φ(x)]=lnx.
解:因
,
且x
2-2>0,
即x
2-1>1,
故
,x>1,
于是
,即有
,
求解得
,
4. 设z=f(x-y,xy)其中f有二阶连续偏导数,求
解:
,
5. 设
,其中f(u,v)可微,求
.
解:
其中u=2x+e
y,
.
6. 求微分方程y"+y'-12y=(x+2)e
-x的通解.
解:原方程对应的齐次方程的特征方程为r
2+r-12=0,解得r
1=-4,r
2=3,所以对应的齐次方程的通解为Y=C
1e
-4x+C
2e
3x,
λ=-1,不是特征方程的根,故设原方程的特解为y
*=e
-x(Ax+B),则
(y
*)'=e
-x(-Ax-B+A),(y
*)"=e
-x(Ax+B-2A),
代入原方程得
e
-x(Ax+B-2A)+e
-x(-Ax-B+A)-12e
-x(Ax+B)=(x+2)e
-x,
解得
,
所以原方程的特解为
,
故原方程的通解为
7. 求定积分
解:
,
由于|sinx|是以π为周期的周期函数,
又周期函数在任一周期上的积分相等,
因此
8. 求
9. 求y"+2y'-8y=(x+1)e
3x的通解.
解:原方程对应的齐次方程的特征方程为r
2+2r-8=0,解得r
1=-4,r
2=2,
所以对应的齐次方程的通解为Y=C
1e
-4x+C
2e
2x,
λ=3,不是特征方程的根,故设原方程的特解为y
*=e
3x(Ax+B),则
(y
*)'=e
3x(3Ax+3B+A),(y
*)"=e
3x(9Ax+9B+6A),
代入原方程得
e
3x(9Ax+9B+6A)+2e
3x(3Ax+3B+A)-8e
3x(Ax+B)=(x+1)e
3x,
解得
,故原方程的通解为
10. 已知参数方程
求
.
四、应用题与证明题每小题10分,共20分.应用题的计算要有计算过程,证明题要有证明过程.1. 求由抛物线y=1-x
2及其在点(1,0)的切线和y轴所围成的平面图形的面积.
解:由题意知,抛物线在点(1,0)处切线的斜率k=y'|
(1,0)=-2x|
(1,0)=-2,故切线方程为y-0=-2(x-1),即y=-2x+2,易知切线与y轴交点为(0,2),故所求面积
2. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导.连接点(a,f(a)),(b,f(b))的直线和曲线y=f(x)交于点(c,f(c),a<c<b,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f"(ξ)=0.
证:因为f(x)在[a,c]和[c,b]上满足拉格朗日中值定理条件,
故存在ξ
1∈(a,c),ξ
2∈(c,b),使
已知(a,f(a)),(b,f(b))和(c,f(c))在一条直线上,故有
即
f'(ξ
1)=f'(ξ
2),
而由f(x)在(a,b)内二阶可导,知f'(x)在[ξ
1,ξ
2]上满足罗尔定理条件,因此,至少存在一点
,使f"(ξ)=0.