二、填空题1. 设x=±1是f(x)的两个极值点,且f(-1)=2,又知f'(x)=3x
2+ax+b,则此函数为f(x)=______.
x3-3x
[解析] 由于x=±1是f(x)的两个极值点,则
解得a=0,b=-3,故f'(x)=3x
2-3,积分得f(x)=x
3-3x+C,又f(-1)=2,代入得C=0,因此f(x)=x
3-3x.
2. 函数f(x)=ln(1+x
2)的极小值为______.
0
[解析]
,令f'(x)=0得x=0.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0,所以x=0为f(x)的极小值点,极小值f(0)=0.
3. 已知L是抛物线y=x
2上点O(0,0)与B(1,1)之间的一段弧,则
=______.
[解析] 由题意得,
4. 已知函数z=ln(x
2+y
2),则全微分dz|
(1,1)=______.
dx+dy
[解析]
,则
5. 设
则f{f[f(-3)]}=______.
4
[解析] f(-3)=0,f[f(-3)]=f(0)=2,f{f[f(-3)]}=f(2)=x2|x=2=4.
三、计算题每小题8分,共80分.计算题要有计算过程.1. 求二阶线性常系数非齐次微分方程y"+y'-6y=cosx的通解.
解:原方程对应的齐次方程的特征方程为r
2+r-6=0,得r
1=-3,r
2=2,所以对应的齐次微分方程的通解为Y=C
1e
-3x+C
2e
2x,
ω=i不是特征方程的根,故设原方程的特解为y*=Asinx+Bcosx,则
(y*)'=-Bsinx+Acosx,(y*)"=-Asinx-Boosx,
代入原方程得
-Asinx-Bcosx-Bsinx+Acosx-6(Asinx+Bcosx)=cosx,
则
,故特解为
,
原方程的通解为
·
2. 计算
,其中L为上半圆周(x-a)
2+y
2=a
2(y≥0)沿逆时针方向.
解:取L
1为y=0(x:0→2a),则L+L
1为封闭曲线,其所围区域D为半圆面,
令P=e
xcosy-2y,Q=-e
xsiny+2,则
,则由格林公式可得
因此
3. 求级数
的和函数.
解:
当
,即
时,级数收敛;
时,级数发散;
时,原级数化为
发散,故收敛域为
.
令
,
4. 求幂级数
在其收敛区间内的和函数.
解:因为
,所以幂级数的收敛半径R=1,故幂级数的收敛区间为(-1,1).
当x∈(-1,1)时,
5. 设函数z=f(x
2-y,y
2-x),其中函数f具有二阶连续偏导数,求
.
解:
,
6. 设D是由
及y=±x所围成的平面区域,计算
.
解:画出积分区域如图所示,可用极坐标计算二重积分,
令x=rcosθ,y=rsinθ,则
,0≤r≤a,
7. 计算
,其中L为x
2+y
2=a
2顺时针方向.
解:令P=-x
2y,Q=xy
2,则
,
由格林公式得
.
8. 求u=x
2+y
2+z
2-x-y-z+3在点M(1,1,1)处沿方向l=(1,-2,1)的方向导数.
解:l的方向余弦为
,而
由于函数在点M处可微,所以
9. 将
展开成(x+1)的幂级数,并求级数
的和.
10. 设函数u=xyz,求函数在(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到(9,4,14)的方向的方向导数.
解:由题意得,l=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12),
故
,