一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数f(x)在区间[0,a](a>0)上连续,f(0)>0,且在(0,a)上恒有f'(x)>0.设
,s
2=af(0),s
1与s
2的关系是______
- A.s1<s2
- B.s1=s2
- C.s1>s2
- D.不确定
A B C D
C
[解析] 由f'(x)>0在(0,a)上恒成立知f(x)在(0,a)严格单调增加,由积分中值定理可得,存在ξ∈(0,a),使得
,由于0<ξ<a,则f(0)<f(ξ)<f(a),又a>0,所以a·f(ξ)>af(0)=s
2,即s
1<s
2,故应选C.
4. 设在闭区间[a,b]上,f(x)>0,f'(x)>0,f"(x)<0,令
,S
2=f(a)(b-a),
则必有______
- A.S1<S2<S3
- B.S2<S1<S3
- C.S3<S1<S2
- D.S2<S3<S1
A B C D
D
[解析] 由题可知f(x)的图形是一条单调递增,向上凸且在x轴上方的曲线,如图所示.
S
1表示曲边梯形ABba的面积;S
2表示以f(a)为高的矩形ACba的面积;
S
3表示梯形ABba的面积;
由图可知S
2<S
3<S
1.
二、填空题1. 微分方程y"-2y'+y=x-2的通解为______.
y=(C1+C2x)ex+x
[解析] 先求对应齐次方程y"-2y'+y=0的通解,因特征方程为:r2-2r+1=0,r=1为重根,所以齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)ex.
设y*=Ax+B为原方程的特解.则y*'=A,y*"=0,将y*、y*'、y*"代入原方程有:-2A+(Ax+B)=x-2,所以A=1,B=0,于是y*=x,原方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x.
2. u=x
2+y
2+z
2-x-y-z+3在点M(1,1,1)处沿方向l={1,-2,1}的方向导数为______.
0
[解析] l的方向余弦为
,而
由于函数在点M处可微,所以
3. 已知连续函数f(x)满足
,则f(x)=______.
x-2
[解析] 令
对等式从0到2积分得
故
,则A=-2,
所以f(x)=x-2.
4. 定积分
0
[解析] 因为y=sin
6x·arctanx为
上的奇函数,故
5. 设l的方向角分别为60°,45°,60°,则f(x,y,z)=xy
2+z
3-xyz在点(1,1,2)处沿方向l的方向导数为______.
5
[解析] 与l同向的单位向量为
因为函数f(x,y,z)可微分,且
f
x(1,1,2)=(y
2-yz)|
(1,1,2)=-1,
f
y(1,1,2)=(2xy-xz)|
(1,1,2)=0,
f
z(1,1,2)=(3z
2-xy)|
(1,1,2)=11,
所以
.