一、选择题2. 下图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间
上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点______
A.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
B.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
D.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
A B C D
A
[解析] 由图象可知函数的周期为π,振幅为1,所以函数y=Asin(ωx+φ)的表达式可设为y=sin(2x+φ).将
代入可得φ的一个值为
,故函数的一个表达式是
所以只需将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变.
4. 已知x
1,x
2,…,x
20的平均数是a;x
21,x
22,…,x
30的平均数是b,则x
1,x
2…x
30的平均数是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 依题意得,x
1+x
2+…+x
20=20a,x
21+x
22+…+x
30=10b,所以x
1+x
2+…+x
30=20a+10b,
7. 已知两圆相交,圆心连线长为10,两圆半径分别为6和8,则其公共弦长为______.
A B C D
A
[解析] 如图所示,r
1=6,r
2=8,O
1O
2=10,O
1O
2垂直平分弦AB,因为
所以△AO
1O
2是直角三角形,
解得AC=4.8,则AB=2AC=9.6.
二、填空题1. 某次考试及格与不及格人数比为11:7,把及格与不及格人数分布情况制成扇形统计图,则表示及格人数的扇形圆心角的度数是______.
220°
[解析] 根据样本比例制作扇形统计图,则
所以表示及格人数的扇形圆心角的度数
2. 化简:
m-6
[解析]
3. 对数学内容来说,层次结构主要有______、______以及两者的综合.
平行层次 递进层次
[解析] 在教学设计过程中,要对数学学习内容进行结构分析,数学内容的层次结构主要有平行层次、递进层次以及两者的综合.
5. 已知一圆心角为150°的扇形的周长为27,则该圆的半径为______.(圆周率取3)
6
[解析] 依题意知,扇形的周长
三、解答题1. 求解方程
因为此方程关于未知函数y和y'不是线性的,
将它变形为
首先将此方程化为线性齐次方程
两边积分得
则
将上述两式代入
中,得
则
两边积分得
所以,原方程通解为
2. 小李在静止的河水中的游泳速度是2.5km/h,某河水流速度为2km/h.若该河宽400m,小李沿着河的正对岸游,想要正好游到河正对岸的便利店,问:小李能否到达目的地,若能则求出路程.若不能,小李到岸时距离目的地多远,给出能到达目的地的正确方案并求出路程.
小李不能游到目的地,因为必须考虑水流的速度.
如图所示,设小李从A出发,B是便利店,因为水流的影响,小李实际到岸地点在便利店的下游D,则经过的路程为AD.
依题意知AB=400m,小李在河中游了
所以根据勾股定理可得
故小李实际经过的路程为
距离目的地320m;
要想到达便利店,小李应向上游方向游,如图所示,
即应朝上游、与河岸成37°的方向游,才能正好到达便利店,此时经过的路程为400m.
3. 计算
如图所示,AE、CD为⊙O的直径,且AE=CD=6.若AD=DB=BE=EC,连接AC、DE、BA、BC.
4. 列举出与∠AED相等的角;(至少3个)
因为AD=DB=BE=EC,∠AED所对应的弦为AD,
根据同圆中,若两条弦相等.则其所对应的圆周角相等以及同一弦所对应的圆周角相等可知:∠BAD=∠CBE=∠BCE=∠AED(任意写出符合上述条件的三个角均可);
5. 证明:AB⊥CD;
因为DB=AD,所以∠ACD=∠BCD,
所以CD是∠ACB的角平分线.
因为CD为圆的直径,
则∠CAD=∠CBD=90°,所以△ACD≌△BCD,
所以CA=CB,
根据等腰三角形的性质可知AB⊥CD.
6. 求△ABC的面积.
因为直径对应的圆周角为直角,
所以∠CAD=∠ABE=∠ACE,
因为∠BAD=∠CBE=∠BCE,
所以∠BAC=∠ABC=∠ACB,即△ABC为等边三角形,
所以∠CDB=60°,即△OBD为等边三角形,∠ACD=30°.
所以
△ABC的高
所以
如图所示,在正四棱锥P—ABCD中,侧面是面积为的等边三角形,E为PC中点,F在PB上,G在PD上,且
7. 证明:点A、E、F、G在同一平面;
连接AC、BD、AE、FG,AC∩BD=0,
以O为原点,AC为x轴,BD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
设AE∩OP=M,FG∩OP=N.
在正四棱锥P—ABCD中,
因为侧面是面积为
的等边三角形,设边长为a,
即
所以
则各点的坐标为:
又因为,
所以
因为
所以M的坐标为
即点M和点N重合,所以AE与GF交于一点.
又因为经过两条相交直线有且只有一个平面,
所以AE与GF在平面AFEG内,即点A、E、F、G在同一平面.
8. 求平面AFEG与底面夹角的余弦值.
AE∩GF=M,平面AFEG与底面的交线为l,
因为
所以FG//l//BD.
在正四棱锥P—ABCD中,
因为
所以OP⊥AC,
又因为
所以BD⊥面PAC,推出BD⊥AE,
则AE⊥l,AC⊥l,AE∩AC=A,
因此∠EAC即为所求二面角,
即平面AFEG与底面夹角的余弦值为