一、选择题1. 设命题p:函数y=ln(ax
2-x+1)的定义域为R,命题q:方程a
2x+4=0在[-1,1]上有实根.若命题“p或q”是假命题,则a的取值范围为______.
A.(-∞,2]
B.
C.
D.[-2,2]
A B C D
C
[解析] 若函数y=ln(ax
2-x+1)的定义域为R,则ax
2-x+1>0恒成立,解得
若方程a
2x+4=0在[-1,1]上有实根,则a
2×(-1)+4<0且a
2×1+4>0,解得a>2或a<-2.因为命题“p或q”是假命题,所以命题p,q均为假命题,则a的取值范围为
3. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为
中位数分别为m
甲,m
乙,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由茎叶图可知:甲组的数据为:5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43;乙组的数据为10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48,所以
二、填空题2. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C
1和C
2的参数方程分别为
,则曲线C
1与C
2的交点坐标为______.
(1,1)
[解析] C
1与C
2的普通方程分别为:x=y
2(y≥0)和x
2+y
2=2,联立方程解得
3. 已知平面π
1:x+2y-5z+7=0与平面π
2:4x+3y+mz+13=0垂直,则m=______.
2
[解析] 两平面的法向量分别为:n
1={1,2,-5};n
2={4,3,m},由两平面垂直
4+6-5m=0
m=2.
4. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值为______.
20
[解析] 依题意得:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,化简得:(x%)2+3·x%≥0.64,根据二次函数的性质可得:x≥20.
5. 在使用等比数列求和公式时,分为q=1和q≠1两种情况,这种方法属于______.
分类讨论
[解析] 在使用等比数列求和公式时,应考虑当q的取值不同时,所运用的公式也不同,故需要根据不同的条件进行分类讨论.
三、解答题某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,据统计,随机变量ξ的概率分布如下: 1. 求a的值和ξ的数学期望;
由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2,所以ξ的概率分布列为
ξ
|
0
|
1
|
2
|
3
|
P
|
0.1
|
0.3
|
0.4
|
0.2
|
所以Eξ=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.
2. 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
设事件A表示“两个月内共被投诉2次”,事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”,事件A2表示“两个月内每月均被投诉1次”.则由事件的独立性得P(A1)=2×0.4×0.1=0.08;P(A2)=0.3×0.3=0.09,
所以P(A)=P(A1)+P(A2)=0.084.0.09=0.17,故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
已知数列{an}满足3. 求a
2,a
3;
因为
所以
4. 求a
1·a
2·a
3…·a
1602.
由题意可知,
以此类推,可以发现数列{a
n}的周期为4,
且a
1=a
5,a
1·a
2·a
3·a
4=1,
所以a
1·a
2·a
3…a
1602=a
1601·a
1602=a
1·a
2=-6.
现有数列{an}和{bn},已知,且,求:5. b
1·b
3·b
5·b
7的值;
因为
所以
6. 数列{a
n}的通项公式a
n及其前n项和S
n.
7. 已知函数
,定义域为R,求f(x)的最小正周期并作出x∈(0,2π)时的图象.
将原式化简:
则f(x)最小正周期为
采用描点法绘制f(x)在x∈(0,2π)上的图象,
由上表中的数据描点作图,得
已知数列{an}的前n项和Sn=An2+n,其中A∈N*,则:8. 求数列的通项公式a
n(结果用含A的代数式表示);
当n=1时,S1=a1=A+1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A·n2+n-A(n-1)2-(n-1)=2A·n-A+1.
又n=1时,a1=2A-A+1=A+1,
所以数列的通项公式an=2A·n-A+1.
9. 若存在正整数B,使得a
B、a
2B、a
4B成等比数列,求数列的通项公式a
n.
根据已求得的通项公式可知,
aB=2AB-A+1,a2B=4AB-A+1,a4B=8AB-A+1.
因为aB、a2B、a4B成等比数列,
所以(4AB-A+1)2=(2AB-A+1)·(8AB-A+1).
化简可得,16A2B2-8AB(A-1)+(A-1)2=16A2B2-10AB(A-1)+(A-1)2,
所以AB(A-1)=0,
已知A、B均为正整数,则A-1=0,所以A=1.
数列的通项公式an=2n.