第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 如图所示的f(x)在区间[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的平面图形的面积S等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
.
2. 设函数z=x
2+y
2,则点(0,0)______.
- A.不是驻点
- B.是驻点但不是极值点
- C.是驻点且是极大值点
- D.是驻点且是极小值点
A B C D
D
[解析] 因为
,则点(0,0)为驻点,且
,B=0,
.由于AC-B
2>0,且A=2>0,所以点(0,0)为极小值点.
4. 设z=(3x
2+y
2)
xy,则
等于______.
- A.xy·(3x2+y2)xy-1
- B.(3x2+y2)xy·ln(3x2+y2)
- C.y·(3x2+y2)xy[(3x2+y2)ln(3x2+y2)+6x2]
- D.y·(3x2+y2)xy-1[(3x2+y2)ln(3x2+y2)+6x2]
A B C D
D
[解析] 因为z=(3x
2+y
2)
xy可看作是z=u
v,u=3x
2+y
2,v=xy复合而成,所以
5. 已知f(x)=e
-2x+
,则
等于______.
A.-e
-2x+arctanx+C
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为f(x)=
+
.
8. 事件A,B满足AB=A,则A与B的关系为______.
A.A=B
B.A
B
C.A
B
D.A=
A B C D
B
[解析] AB=A,则A
AB(AB
A,按积分的定义是当然的),即当ω∈A时,必有ω∈AB,因而ω∈B,故A
B.
9. 设函数f(x)=x
3+e
3+3
x,则f'(x)等于______.
A.3x
2+3
xln3
B.3x
2+3e
2+x·3
x-1 C.
D.
A B C D
A
[解析] (x3)'=3x2(e3)'=0,(3x)'=3xln3,所以f'(x)=3x2+3xln3.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 当f(0)=______时,f(x)=
在x=0处连续.
mk
[解析]
,所以当f(0)=km时,f(x)在x=0处连续.
2. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则
3.
e
[解析]
4. 已知f(x)的一个原函数为xe
-x+1,求∫f(x)dx=______。
5. 若
esinx-1+sinx+C
[解析]
6. 设函数f(x)=
,则函数的间断点是x=______.
0
[解析] 因为
,所以x=0为无穷间断点.
7. 曲线y=ln(x+1)的渐近线为______。
8. 设y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x
10+e
10,则y
(10)=______.
10!
[解析] 注意到五项连乘积是x的5次多项式,因此它的10阶导数为零,不必逐项计算.
9.
______.
10. 曲线y=-x
3+x
2+2x与x轴所围成的图形的面积A=______.
[解析] 曲线y=-x
3+x
2+2x的图形如图,它与x轴围成的图形面积为
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 设
求y
(12).
解:
所以
[解析] 求高阶导数,不能采取简单的逐阶求导方法,其关键是找出规律.
2. 求曲线y=x
2与直线y=x,y=2x所围成的图形的面积.
解:由题作图,由图知
3. 一车间有两台独立工作的机器,第一台机器出故障的概率为0.03,第二台机器出故障的概率为0.05。求出故障机器台数X的概率分布和它的期望值。
解:首先求出X的可能取值的概率,
P(X=0)=0.97×0.95=0.9215,
P(X=1)=0.03×0.95+0.97×0.05=0.077,
P(X=2)=0.03×0.05=0.0015,
所以X的概率分布为:
X |
0 |
1 |
2 |
pk |
0.9215 |
0.077 |
0.0015 |
E(X)=0×0.9215+1×0.077+2×0.0015=0.08。
4. 计算
。
解:
5. 平面上通过一个已知点P(1,4)引一条直线,要使它在两个坐标轴上的截距均大于零,且它们的和为最小,求这条直线的方程.
解:设所求直线为l,其斜率为k.为使l在两坐标轴上的截距均大于零,所以k<0,则直线l的方程为
y-4=k(x-1).
它在x轴上的截距为
在y轴上的截距为4-k,故两截距之和
令S'(k)=0,得驻点k=-2(k=2舍去),且S''(-2)=1>0,所以S(-2)为极小值.
因此S(k)只有一个极小值而没有极大值,所以S(-2)为最小值.
于是,所求直线方程为
y-4=(-2)(x-1),
即2x+y-6=0.
[解析] 解题关键在于列出S(k)的表达式,用到了平面几何的一些知识,如直线方程和斜率、截距等.解S'(k)=0只有唯一的驻点,由实际意义知最小值存在,可以不必求S''(-2)>0,即可判定S(-2)为最小值.
6. 设
.求
.
7. 盒中装着标有数字1,2,3,4的乒乓球各2个,从盒中任意取出3个球,求下列事件概率.
(1)A={取出的3个球上最大的数字是4}.
(2)B={取出的3个球上的数字互不相同}.
解:基本事件数有
种.
(1)事件A中的基本事件为
种,
所以
(2)事件B中的基本事件数的计算可以分两步进行:
先从1,2,3,4的4个数中取出3个数的方法为
种,
由于每一个数有2个球,再从取出的3个不同数字的球中各取一个球,共有
种方法,
所以
[解析] 解本题的关键是确定基本事件的总数,并利用组合的相关知识求解.
8. 计算∫xcosx
2dx.
解: