第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 设f(x)是可导的连续函数,则
等于______.
A.f(3)-f(1)
B.f(9)-f(3)
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为
,所以选D.
3. 设
在x=0处连续,且
则a=______
A.2
B.-2
C.
D.
A B C D
D
[解析] ∵
在x=0连续,
∴
8. 设函数f(x)=
,则f(x)有______.
A.极大值
B.极大值
C.极小值
D.极小值
A B C D
D
[解析] f'(x)=x-1,f"(x)=1>0,所以f(x)有极小值f(1)=
=
,所以选D.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 设z=2x
3y
2,则
______.
12x2y
[考点] 本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点.
[解析] 由z=2x
3y
2,则
,
=12x
2y.
2. 设z=x(lnx+lny),则
[解析] ∵
∴
3. 设
,若用
换成对t的积分再求解,可解得I=______.
2ln2
[解析] 令
,则x=t
2,dx=2tdt.当x=1时,t=1;x=9时,t=3.因此
.
5. 函数y=ln(arcsinx)的连续区间为______.
(0,1]
[解析] 函数y=ln(arcsinx)的连续区间为它的定义区间.
由arcsinx>0,解得x∈(0,1].
6. 设
在x=0处连续,则k=______.
1
[解析] 由连续的三要素及f(0-0)=1=f(0+0)=f(0),得k=1.
7. 设函数y=ln(1+x
2),则dy=______.
[解析] 因为
,所以
.
8. 设y=e
-2x,则y"|
x=0=______.
4
[解析] 因为y'=-2e-2x,y"=4e-2x,所以y"|x=0=4.
9. 若f'(x)=sinx+x+1,则f(x)=______.
[解析]
10.
=______.
e2
[解析]
.
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 已知
证:将已知等式展开得
等式两边对x求导得
即
令
即
[解析] 本题主要考查定积分中的积分变量概念,以及变上限定积分的求导计算.已知等式左端是对变量t积分,所以被积函数中的x相对于t而言是常量,可以提到积分号外,这点是需要注意的.
2. 设
,求f'(x).
解:
3. 求由曲线y=x
2,y=2所围成的封闭平面图形绕y轴旋转所得到的旋转体积。
解:首先画出y=x
2与y=2所围平面图形D,如图阴影所示。
D绕y轴旋转一周所得旋转体体积为
4. 设连续函数f(x)=
.
解:设
,则f(x)=lnx-c,故c=
=(x·lnz)
-c(e-1)=e-(e-1)-c(e-1)=1-c(e-1),所以c=
,故
.
5. 设曲线f(x)=x
2-x+2在点(x
0,f(x
0))处的切线垂直于直线y=-2x+1,求过点(x
0,f(x
0))的曲线的切线方程。
解:因为f(x)=x
2-x+2在(x
0,f(x
0))点的切线垂直于y=-2x+1,所以
即
,解得
从而
故函数过(x
0,f(x
0))点的切线方程为
化简得
6. 求抛物线y
2=2x与直线y=x-4所围图形的面积.
解:如图,取y为积分变量.
联立方程
得交点纵坐标为y
1=-2,y
2=4.故所求面积为
[解析] 求平面图形的面积关键是画出平面图形并确定积分变量和积分上、下限.
7. 求函数
的导数.
解:等式两边同时取对数得
方程两边同时对x求导有
故
[解析] 对多个函数的连乘除求导数,用对数求导法可以减少计算量.在所给函数式两边分别取对数,再用隐函数求导方法求y'.注意在y'表达式中不可保留y,而应用x的函数式代替.
8. 将一颗骰子上抛一次,以X表示其落地时朝上的一面的点数,求随机变量X的概率分布,并求它的数学期望E(X)和方差D(X)。
解:首先求出X取各个可能值时的概率
,
X的概率分布为:
X的数学期望
方差