一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列级数或广义积分发散的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] A项,
由莱布尼茨判别法可知,当n=1,2,…,
>
即u
n>u
n+1;且
则级数收敛。
B项,因为
不存在,所以由级数收敛的必要条件可知,级数发散。
C项,令x=3sint,则dx=3costdt,故
因此广义积分收敛。
D项,令x=tant,则dx=sec
2tdt,故
因此广义积分收敛。
4. 下列级数或广义积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] A项,因为
所以由级数收敛的必要条件可知,级数发散。
B项,因为
且级数
收敛,则级数
收敛。
C项,因为x=0为被积函数
的瑕点,所以
积分值不存在。
D项,
积分值不存在。
5. 函数
在x=0处______
A B C D
C
[解析] 因为
所以
在x=0处连续。又因为
不存在,故
在x=0处不可导。综上,函数
在x=0处连续但不可导。
二、填空题1. 极限
[解析]
2. 空间曲线
在点(1,1,1)处的法平面方程为______。
x+2y+3z-6=0
[解析] 已知点(1,1,1)对应的参数为t=1,则s=(1,2,3),所以空间曲线的法平面为x-1+2(y-1)+3(z-1)=0,即x+2y+3z-6=0。
3. 设平面曲线C是从点(1,1)到点(2,3)的直线段,则对坐标的曲线积分
+(y-x)dy=______。
4
[解析] 平面曲线C的参数方程可记作
4. 设函数f(x)在点x=0处连续,且
则f'(0)=______。
2
[解析] 由
可得,
因为f(x)在点x=0处连续,所以f(0)=
=0从而有
则f'(0)=2。
5. 过曲线y=arctanx+e
x上的点4(0,1)处的法线方程是______。
x+2y-2=0
[解析] 因为
则y'(0)=2,所以曲线上的点(0,1)处的法线的斜率为k=
,则法线方程为
即x+2y-2=0。
三、计算题每小题8分,共80分.计算题要有计算过程.1. 求不定积分
解:
2. 求定积分
解:
3. 设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分
与路径无关,并且对任意的t恒有
求Q(x,y)。
解:由于曲线积分
与路径无关,所以
于是Q(x,y)=x
2+
(y)。若选取从点(0,0)到点(t,0),再到点(t,1)的折线段,则等式左边的积分
若选取从点(0,0)到点(1,0),再到点(1,t)的折线段,则等式右边的积分
则
上式两边同时对t求导得
2t=1+
(t),即
(t)=2t-1,
故Q(x,y)=x
2+2y-1。
4. 设
在x=0处可导。
(1)求常数a,b的值;
(2)求f(x)在x=0处的微分。
解:(1)由f(x)在x=0处可导知f(x)在x=0处连续,故
=
=f(0)。因为
故b=-1。
因为f(x)在x=0处可导,所以
因为
故a=3。
(2)由(1)可知,f'(0)=3,故dy|
x=0=3dx。
5. 设函数y=y(x)由方程e
xy=x-y所确定,求dy|
x=0。
解:方程e
xy=x-y两边同时对x求导得
整理得
将x=0代入得y=-1,所以
6. 设
求
7. 设函数y=y(x)由参数方程
所确定,求
及
解:
8. 将函数
展开为(x-1)的幂级数,指出展开式成立的区间,并求级数
的和。
解:
由
可得-1<x<3,所以收敛区间为(1,3)。令x=0得
9. 求曲线积分
其中L为抛物线y
2=1-x上自点(0,1)到点(1,0)的一段弧。
解:补线L
1:y=0从点(1,0)到点(0,0),L
2:x=0从点(0,0)到点(0,1),记曲线L,L
1,L
2所围成的封闭区域为D,如图所示。曲线为负向,由格林公式可得
10. 设函数z=f(x
2-y
2,e
y),且函数f具有二阶连续偏导数,求
及
解:
四、应用题与证明题每小题10分,共20分,应用题的计算要有计算过程,证明题要有证明过程.1. 设S,是由抛物线y=4x
2与直线x=a(0<0<1),x=1,y=0所围成的平面图形,S
2是由抛物线y=4x
2与直线x=a,y=0所围成的平面图形,S
1和S
2分别绕x轴和y轴旋转得到的旋转体的体积为V
1和V
2,令V
1+V
2=V,求a为多少时V取得最大值。
解:如图所示,由题意可得
故
所以V'=8πa
3-16πa
4,令V'=0得
V"=24πa
2-64πa
3,当
时,V"=-2π<0,
所以
为函数V的极大值点,亦为最大值点即
时函数V取得最大值。
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1。证明:2. 存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ;
证:设F(x)=f(x)+x-1,则F(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导。因为F(0)=-1,F(1)=1,则F(0)F(1)<0,根据零点定理可得,存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ。
3. 存在两个不同的点η,μ∈(0,1),使得f'(η)f'(μ)=1。
证:根据第一问的结论,将[0,1]分成[0,ξ],[ξ,1]。f(x)在[0,ξ]上连续,在(0,ξ)上可导,根据拉格朗日中值定理,存在μ∈(0,ξ),使得
同理f(x)在[ξ,1]上连续,在(ξ,1)上可导,根据拉格朗日中值定理,存在η∈(ξ,1),使得
由此可得,存在两个不同的点η,μ∈(0,1),使得f'(η)f'(μ)=1。