一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.5. 下列广义积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] A项,因为
所以广义积分发散。
B项,因为
所以广义积分发散。
C项,因为
所以广义积分收敛。
D项,因为
所以广义积分发散。
三、计算题每小题8分,共80分.计算题要有计算过程.1. 求二重积分
其中D是由x=e,y=lnx,y=0所围成的区域。
解:积分区域如图所示。
方法一:
方法二:
2. 若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C
1+C
2x)e
x。试确定常数a,b的值,并求非齐次方程y"+ay'+by=x满足条件y(0)=2,y'(0)=0的特解。
[解析] 特征方程的两个根为r1=r2=1,特征方程为r2-2r+1=0,从而a=-2,b=1。设非齐次方程y"-2y'+y=x的特解为y*=Ax+B,代入方程y"-2y'+y=x解得A=1,B=2,即y*=x+2。故y"-2y'+y=x的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。
又y'=(C1+C2+C2x)ex+1,代入初值条件y(0)=2,y'(0)=0,得C1=0,C2=-1。故所求的特解为y=-xex+x+2。
3. 设2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定了函数z=z(x,y),求
解:记F(x,y,z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z,则
F'
x=2cos(x+2y-3z)-1,F'
y=4cos(x+2y-3z)-2,F'
z=-6cos(x+2y-3z)+3,
故
4. 求函数f(x,y,z)=sin(xy
2+z)在点P(1,1,-1)处沿方向l=(1,1,1)的方向导数。
解:由题意可得
所以
向量l=(1,1,1)的方向余弦为
于是所求方向导数为
5. 求函数f(x,y,z)=x-y+z
3在点P
0(1,1,1)沿方向l=(2,2,1)的方向导数。
解:由题意可得
向量l=(2,2,1)的方向余弦分别为
于是所求方向导数为
6. 求函数f(x,y,z)=xy+yz+zx在点P
0(1,1,-2)沿方向l=(2,1,2)的方向导数。
解:由题意可得
向量l=(2,1,2)的方向余弦为
于是所求方向导数为
7. 设函数
记
求F(x)。
8. 求
的收敛域以及和函数。
解:因为
故级数的收敛域为(-∞,+∞),
9. 求二重积分
其中D是由y=2x,y=x,x=4,x=2围成的区域。
解:积分区域如图所示,
10. 求微分方程y'-2y—e
2x=0的通解。
解:该微分方程可化为y'-2y=e
2x,由通解公式可得,
其中C为任意常数。
四、应用题与证明题每小题10分,共20分,应用题的计算要有计算过程,证明题要有证明过程.设直线y=ax(0<0<1)与抛物线y=x2所围图形的面积为S1,它们与直线x=1所围成的面积为S2。1. 试确定a的值使S
1+S
2最小;
解:联立
得交点坐标分别为(0,0)和(a,a
2)。
所以
令S'(a)=0,得
(舍去)或
因为当
时,S'(a)<0,S(a)单调递减;当
时,S'(a)>0,S(a)单调递增,所以
为函数的极小值点,即最小值点,故当
时,S
1+S
2最小。
2. 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体体积。
如图所示,
3. 设f(x)在[a,b]上二阶可导,|f"(x)|≤2,且f(x)在(a,b)内取得最小值。
试证:|f'(a)|+|f'(b)|≤2(b-a)。
证:因为|f"(x)|≤2,且f(x)在(a,b)内取得最小值,所以由极值和最值的联系可知,存在x0∈(a,b),使得f'(x0)=0。因为f(x)在[a,b]上二阶可导,所以在[a,x0],[x0,b]上连续,在(a,x0),(x0,b)内可导,所以由拉格朗日中值定理可知,存在ξ1∈(a,x0),ξ2∈(x0,b),使得f'(x0)-f'(a)=f"(ξ1)(x0-a),f'(b)-f'(x0)=f"(ξ2)(b-x0)。
所以|f'(a)|=f"(ξ1)|(x0-a),|f'(b)|=|f"(ξ2)|(b-x0),又因为|f"(x)|≤2,所以|f'(a)|+|f'(b)|≤2(x0-a)+2(b-x0)=2(b-a)。