一、选择题在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案.6. 函数y=(1-x)
x(x<1)的微分dy为______
A.
B.
C.x(1-x)
x-1dx
D.-x(1-x)
x-1dx
A B C D
B
[解析] 因为y=(1-x)
x=e
xln(1-x),所以
故
7. 方程x
3+2x-5=0在下列哪个区间上至少有一个实根______
A.
B.
C.(1,2)
D.(-1,0)
A B C D
C
[解析] 令f(x)=x
3+2x-5,则f(-1)=-8<0,f(0)=-5<0,
f(1)=-2<0,f(2)=7>0。因为f(1)f2)<0,故方程在区间(1,2)上至少有一个实根。
12. 曲线f(x)=x
4-2x
3的凸区间为______
A.(-∞,0],[1,+∞)
B.[0,1]
C.
D.
A B C D
B
[解析] f'(x)=4x3-6x2,f"(x)=12x2-12x=12x(x-1)。令f"(x)=0,得x=1或x=0。
当0≤x≤1时,f"(x)≤0,故函数f(x)在区间[0,1]上的图形是凸的。故选B。
15.
A.0
B.
C.arctanx
D.
A B C D
A
[解析] 定积分
结果为常数,常数的导数为0,故选A。
16. 二次积分
变换积分次序后得______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 积分区域D={(x,y)|-1≤x≤0,-x≤y≤1},交换积分次序得{(x,y)|0≤y≤1,-y≤x≤0}。故选D。
17. 设f(x)在x
0处可导,若
则f'(x
0)=______
A B C D
C
[解析]
因此f'(x
0)=1,故选C。
26. 下列函数在区间[-1,1]上满足罗尔定理所有条件的是______
A.y=2x+1
B.y=|x|-1
C.y=x
2+1
D.
A B C D
C
[解析] A项端点值不相等,B项在x=0处不可导,D项在x=0处不连续,C项在区间[-1,1]上连续,在区间(-1,1)内可导,且f(-1)=f(1),满足罗尔定理所有条件,故选C。
27. 在曲线
的所有切线中,与平x+2y+z=4平行的切线______
A B C D
B
[解析] 曲线的切线的方向向量为
此向量与平面平行,即与平面法向量垂直,则有
解得t
0=1或
所以与平面平行的切线只有2条。
29. 设
g(x)=x
2,则f[g(x)]=______
A.
B.
C.x
D.1
A B C D
A
[解析]
故选A。
30. 设
则______
A.
不存在
B.点x=1为f(x)的第一类间断点
C.点x=1为f(x)的第二类间断点
D.f(x)在点x=1处连续
A B C D
B
[解析]
左右极限都存在,但函数在x=1处无意义,故函数不连续,x=1是f(x)的第一类间断点。
二、填空题1. 设常数a>O,若幂级数
的收敛区间为(-1,3),则a=______。
2
[解析] 由题意知收敛半径R=2,又
故a=2。
2. 设曲线L为圆域x
2+y
2≤-2x的正向边界,则曲线积分
(x
3-y)dx+(x-y
3)dy=______。
2π
[解析] P(x,y)x
3-y,Q(x,y)=x-y
3,
由格林公式可得
3. 函数f(x)=x
2,g(x)=cosx,则复合函数y=f[g'(x)]的导数为______。
sin2x
[解析] g'(x)=-sinx,f[g'(x)]=f(-sinx)=sin2x,故y'=2sinxcosx=sin2x。
4. 函数
的反函数是______。
[解析]
故反函数是
5. 设y=f(x)由参数方程
所确定,则
8
[解析]
6. 设
在x=0处连续,则k的值为______。
1
[解析] 函数在x=0处连续,所以
7. 已知某二阶齐次线性微分方程的通解为y=C
1e
-x+C
2e
2x,则该微分方程为______。
y"-y'-2y=0
[解析] 由该二阶齐次线性微分方程的通解可知该方程对应的特征方程的特征根为r1=-1,r2=2,所以对应的特征方程为r2-r-2=0,故该微分方程为y"-y'-2y=0。
8. 若幂函数
的收敛半径为
则常数a=______。
2
[解析]
所以
9. 已知y=sin
2x+sinx
2,则
sin2x+2xcosx2
[解析]
10. 若
存在,且
,则
[解析]
当x→1时对函数两边取极限得
设
即上式为
即
三、计算题(每小题5分,共50分)1. 设
求dz。
解:
2. 求z=e
xy在点(2,1)处的全微分。
解:
则
3. 求过点(-1,-4,3)并与直线
平行的直线方程。
解:所求直线的方向向量为
且过点(-1,-4,3),所以直线方程为
4. 计算二重积分
其中积分区域D={(x,y)|x
2+y
2≤1}。
解:令x=rcosθ,y=rsinθ,而0≤r≤1,0≤θ≤2π,则根据奇偶函数的对称性,
5. 已知向量a=2i-3j+k,b=i-j+3k,c=i-2j,求(a×b)·c。
解:
6. 求不定积分
解:
7. 求极限
解:根据等价无穷小替换及洛必达法则
8. 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5)和C(2,4,7),求三角形ABC的面积。
解:
故
9. 设曲线方程为
求此曲线在x=2的点处的切线方程。
解:当x=2时,t=0,y=1,
切线方程为y-1=
即x-2y=0。
10. 设
求
四、应用题(每小题7分,共14分)1. 求曲线
的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值。
设切点为
则切线方程为
当x=0时,
当y=0时,x=2x
0,设切线在两坐标轴上的截距之和为F(x
0),则
当
即x
0=1时,F(x
0)取得最小值4。
2. 要将薄铁板做成一个容积为V的有盖长方体铁皮容器,问长、宽、高如何设计才能使用料最省。
设铁皮容器的长和宽分别为x和y,则高为
用料即表面积
用料最省即表面积最小,令
可得唯一驻点
因为用料最省的方案一定存在,故唯一的驻点对应的就是函数的极值点,也就是最值点,此时高为
故铁皮容器的长为
宽为
高为
时用料最省。
五、证明题(6分)1. 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=f(0)=0,对于点x
0∈(0,1)。证明:存在点ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=f(x
0)。
证:构造辅助函数F(x)=f(x)-xf(x
0),F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,当f(x
0)=0时,F(0)=0,F(1)=0,由罗尔定理知至少存在一点ξ∈(0,1),使得F'(ξ)=0,即f'(ξ)=f(x
0);当f(x
0)≠0时,F(0)=0,F(x
0)=f(x
0)-x
0f(x
0)=(1-x
0)f(x
0),F(1)=-f(x
0),F(x
0)·F(1)<0,由零点定理可知至少存在一点η∈(x
0,1),使得F(η)=0,则F(0)=F(η)=0,进一步由罗尔定理得,存在点ξ∈(0,η)
(0,1),使得F'(ξ)=0,即F'(ξ)=f(x
0)。