一、选择题在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案.3. 下列广义积分发散的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 对于A项,
所以
收敛;
对于B项,
所以
收敛;
对于C项,
所以
收敛;
对于D项
故选D。
4. 设
则无穷级数
______
- A.条件收敛
- B.绝对收敛
- C.发散
- D.敛散性与a的取值有关
A B C D
A
[解析] 由题意知
是交错级数,又因为
局部单调递减,从而级数收敛,又当n→∞时,
而级数
发散,从而
发散,故无穷级数
条件收敛。故选A。
5. 设
则不定积分
A.2e
x+C
B.
C.
D.2e
2x+C
A B C D
C
[解析] 由
两端求导得f(x)=e
x,所以
故选C。
6. 不定积分
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
故选D。
7. 设
为正项级数,以下说法正确的是______
A.如果
则
必收敛
B.如果
则
必收敛
C.如果
收敛,则
必定收敛
D.如果
收敛,则
必定收敛
A B C D
C
[解析]
因为级数
收敛,所以
必定成立,由正项级数的比较判别法可知,
必定收敛。
8. 设函数f(x)在点x
0的邻域内有定义,在点x
0处二阶可导,并且f'(x
0)=0,f'(x
0)≠0,那么函数f(x)在点x
0处______
- A.一定取得极值
- B.取得极小值
- C.取得极大值
- D.不能被判断是否取得极值
A B C D
A
[解析] 函数在x0点二阶可导,则在x0点一定连续,又因为f'(x0)=0,f"(x0)≠0,所以由极值判断第二充分条件可知选项A是正确的。
9. 若
则
A.sin2
B.2sin2
C.
D.
A B C D
C
[解析] 令t=x
2,则
10. 二次积分
可以写成______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 积分区域D为0≤θ≤
,0≤r≤cosθ,令x=rcosθ,y=rsinθ,则0≤x≤1,0≤x
2+y
2≤x,即0≤x≤1,
则二重积分可表示为
13.
则______
- A.I1<I2
- B.I1=I2
- C.I1>I2
- D.不能比较
A B C D
C
[解析] 由题可知sinx在积分区间
的值域为[0,1],故sin
2x>sin
4x,由定积分性质可知I
1>I
2。
14. 下列级数中发散的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] B项,一般项
所以级数发散,故选B。A项,
级数
收敛,则
也收敛;C项,
级数
收敛,则
也收敛;D项,
级数级数
收敛,则
也收敛。
19. 下列反常积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] A项,
故发散;B项,
故发散;C项,
故发散;D项,
故选D。
21. 幂级数
的收敛区间是______
A.
B.
C.(0,4)
D.(-2,2)
A B C D
C
[解析]
即0<x<4。故选C。
22. 设
则有______
- A.a<b<c
- B.c<a<b
- C.b<c<a
- D.b<a<c
A B C D
B
[解析]
是奇函数,所以
y=sin
3x是奇函数,y=cos
4x是偶函数,所以
y=x
2sinx是奇函数,所以
故选B。
25. 由方程e
y+ln(x+y)=x所确定的隐函数y=f(x)的导数
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
整理得
二、填空题1. 已知
则反函数f
-1(x)=______。
2. 不定积分
tanx-x+C
[解析]
3. 曲线y(x)=x
3+3x
2的拐点是______。
(-1,2)
[解析] y'=3x2+6x,y"=6x+6,可知x=-1的左、右邻域二阶导异号(左负右正),所以拐点为(-1,2)。
4. 已知
,则'
x(2,1)=______。
1
[解析] 对x求偏导,可以先把y的值代入,则f(x,1)=x,f'x(x,1)=1,f'x(2,1)=1。
5. 曲线y=e
-x(e为自然对数的底数)在点M(1,e
-1)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形的面积为______。
[解析] y'=-e
-x,k=y'(1)=-e
-1,则切线l为
直线l与x轴、y轴的交点分别为(2,0),
所以满足题意的三角形的面积
6. 微分方程
满足初始条件y(1)=3的特解为______。
y=x+2
[解析] 由公式得
因为y(1)=3,则C=1,所以y=x+2。
7. 发y=x
2+2
x+e
2-x,则y'=______。
2x+2xln2-e2-x
[解析] y'=2x+2xln2+e2-x·(-1)=2x+2xln2-e2-x。
8. 若函数f(x)=x
3-ax
2在点(1,f(1))处切线平行于x轴,则实数a=______。
[解析] f'(x)=3x
2-2ax,由题意知,f'(1)=3-2a=0,解得
9. 若当x→0时,kx+2x
2+3x
3与x是等价无穷小,则常数k=______。
1
[解析] 由题意可知
10. 微分方程y"-2y'-3y=0的通解是______。
y=C1e-x+C2e3x,其中C1,C2为任意常数
[解析] 特征方程r2-2r-3=0有两个不等实根r1=-1,r2=3,故原方程的通解为y=C1e-x+C2e3x,其中C1,C2为任意常数。
三、计算题(每小题5分,共50分)1. 计算二重积分
其中D是由x=e,y=lnx,y=0所围成的区域。
解:积分区域如图所示。方法一:
方法二:
2. 求二元函数f(x,y)=x
3-y
3-3x
2+3y
2-1所有的极值点和极值。
解:对函数求一阶偏导并令其等于零,
得x0或x=2,
=6y-3y
2=0,得y=0或y=2,即驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)。求二阶导得,
代入各驻点得:
对于(0,0)点,B
2-AC=36>0,(0,0)点处不是极值点;
对于(0,2)点,B
2-AC=-36<0,A=-6<0,即(0,2)点处取得极大值3;
对于(2,0)点,B
2-AC=-36<0,A=6>0,即(2,0)点处取得极小值-5;
对于(2,2)点,B
2-AC=36>0,(2,2)点不是极值点。
综上,(0,2)为极大值点,极大值为3;(2,0)为极小值点,极小值为-5。
3. 设2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定了函数z=z(x,y),求
解:记F(x,y,z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z,则
F'
z=-6cos(x+2y-3z)+3,F'
x=2cos(x+2y-3z)-1,F'
y=4cos(x+2y-3z)-2,
故
4. 设y=x
2x+(2x)
x(x>0),求y'。
解:令y
1=x
2x,则lny
1=2xlnx,两边同时对x求导得,
从而y'
1=x
2x(2lnx+2)。令y
2=(2x)
x,则lny
2=xln2x,两边同时对x求导得,
从而y'
2=(2x)
x(ln2x+1)。故
y=(x
2x)'+[(2x)
x]'=x
2x(2lnx+2)+(2x)
x(ln2x+1)。
5. 求由方程e
x+y+z-xyz=0所确定的二元函数z=z(x,y)的全微分dz。
解:令F(x,y,z)=e
x+y+z-xyz,则F'
x=e
x+y+z-yz,F'
y=e
x+y+z-xz,F'
z=e
x+y+z-xy,
6. 将
展开成x的幂级数。
7. 将函数
展开成麦克劳林级数。
解:
其中
即-3<x<3。
8. 设
求
解:令t=x-1,则x∈[0,2]时,t∈[-1,1],
9. 已知z=xe
xy,求dz。
解:
因为
则dz=(e
xy+xye
xy)dx+x
2e
xydy。
10. 求曲线
在t=2处的切线方程与法线方程。
解:根据参数方程求导法则
t=2时,x=2,y=4,所以切线方程为y-4=4(x-2),即y=4x-4;法线方程为y-4=
(x-2),即
四、应用题(每小题7分,共14分)1. 在抛物线y=-x
2+1上找一点P(x
1,y
1),其中x
1>0,过点P做抛物线的切线,使此切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积最小。
设过抛物线上点P所做的切线交x轴于点A(a,0),交),轴于点B(0,b)。因为y'=-2x,则过点P(x
1,y
1)的切线方程为
由
b>0可知所围图形的面积为
令
得唯一驻点
又因为
故S在
处取得最小值,即所求点为
已知平面图形D由曲线和直线y=1+x围成。