第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)3. 下列求极限问题中洛必达法则失效的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] A选项,
B选项,
极限不存在,洛必达法则失效,我们换用其他方法.
C选项,
D选项,
,故选B.
5. 下列反常积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] A项:
发散:
7. 在下列函数中,当x→0时,函数f(x)的极限存在的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] A项:
,所以当x→0时极限不存在;
9. 下列函数中,不是e
2x-e
-2x的原函数的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] [2(e2x-e-2x)]'=4(e2x+e-2x)≠e2x-e-2x.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1.
2. 二元函数z=xy在x+y=1下的极值为______.
[解析] 化为无条件极值.
由y=1-x代入z=xy得z=x(1-x)=x-x
2.
又因z
x=1-2x,则令z
x=0,得驻点
当
时,z
x>0,当
时,z
x<0,故该点
是极大值点,且极大值
3. 设
,则
4. 设函数f(x)在x=2处连续,且
存在,则f(2)=______.
1
[解析] 因为
存在,所以f(x)-1→0,即f(x)→1(x→2).
因为f(x)在x=2处连续,所以f(2)=1.
5.
e-1
[解析]
6. 设f'(x)连续,则∫f'(kx)dx=______(k≠0).
[解析] 凑微分法,由f'(x)连续,则
7. 不定积分∫f(x)dx=3x+C,则∫xf(5-x
2)dx=______.
8. 设函数
,则f(|x+1|)的间断点为______.
x=-1和x=0
[解析] 由题知,
的无定义点为x=-1和x=0.
且
,故x=-1为第一类间断点.
而
,故x=0为第二类间断点.
9. 设函数z=ln(x
2+y),则dz=______.
10. z=(1-x)
2+(2-y)
2的驻点是______.
(1,2)
[解析] 因为
,则x=1,
,则y=2,所以驻点为(1,2).
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 已知曲线y=x
3+bx
2+cx通过点(-1,-4),且在横坐标为x=1的点处切线斜率为2,求b、c的值.
解:
-4=-1+b-c,
解得
2. 设函数z=z(x,y)是由方程x+y
3+z+e
2x=1所确定的隐函数,求dz.
解:设F(x,y,z)=x+y
3+z+e
2x-1
3. 求函数
的导数.
解:等式两边同时取对数得
方程两边同时对x求导有
对多个函数的连乘除求导数,用对数求导法可以减少计算量.在所给函数式两边分别取对数,再用隐函数求导方法求y'.注意在y'表达式中不可保留y,而应用x的函数式代替.
4. 计算
解:令x=tant,则
.当x=0时,t=0;当x=1时,
注意到
,则有
[考点] 本题考查的知识点是用换元法去根号计算定积分.
[解析] 三角代换x=asint和x=atant是大纲要求掌握的内容.
5. 求由曲线y=e
x,y=e
-x及x=1所围成的平面图形的面积以及此平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V
r.
解:其平面图形如下图所示,则平面图形面积
旋转体的体积为
6. 求函数
的极值.
解:函数的定义域为D=(-∞,+∞),
令y'=0,得驻点为
,y'不存在的点为x=0.列表讨论如下,
由表知函数的极小值为
,极大值为0.
7. 求曲线y=x
2+1(x≥0)与y=x+1所围成的图形分别绕z轴和y轴旋转所得旋转体的体积.
解:由题作图,由图知
(1)绕x轴旋转的体积为
(2)绕y轴旋转的体积为
8. 设曲线
与x轴、y轴所围成的图形面积被曲线y=asinx,y=bsinx(a>b>0)三等分,试确定a、b的值.
解:由y=cosx,y=asinx,得
,故有
,同理可求得
.