第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 设
为连续函数,则a=______
A.
B.3
C.2
D.1
A B C D
A
[解析] 因为f(x)在x=2连续,所以
解得
,选A.
3. 设y=2x
2-lny,则y'=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析]
,解得
,选A.
6. 当x→0时,下列______为无穷小量.
A.e
x B.sinx
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由无穷小量的定义:若
,则称f(x)为x→0时的无穷小量.而只有
,所以选B.
7. 设函数f(x)在(-∞,+∞)上可导,且
,则f'(x)等于______
A.-2e
-2x+3
B.
C.-e
-2x D.-2e
-2x A B C D
D
[解析] 因为
是定值,其导数应为零.
8. 设函数
在x=2处连续,则a=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因为
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 设z=2x
2+3xy-y
2,则
3
[解析] 先求
2. 设
,则f[f(x)]=______.
x
[解析]
3. 函数y=ln(arcsinx)的连续区间为______.
(0,1]
[解析] 函数y=ln(arcsinx)的连续区间为它的定义区间.由arcsinx>0,解得x∈(0,1].
4. 若点(1,3)是曲线y=ax
3+bx
2的拐点,则a,b分别为______.
[解析] 因点(1,3)在曲线y=ax
3+bx
2上,所以a+b=3.又因y"=6ax+2b,所以6a+2b=0.
5. 设x=x
yy
x,则
6. 若
,则k=______.
-3
[解析] 因为
=e
1-k
又因为
,所以e
1-k=e
4,所以1-k=4,k=-3.
7. 若随机变量x的期望与方差分别为1和9,则
[解析]
8.
[解析] 要求“
”型不定式的极限,应优先考虑先用等价无穷小量代换,再用其他方法求解,因此有
9. 已知
且f(1)=2,则f(x)=______.
[解析] 因为
f(1)=C=2,所以
10. 不定积分
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 设离散型随机变量X的分布列为:
(1)求常数a的值;
(2)求X的数学期望EX.
解:(1)由0.2+a+0.5=1,得a=0.3.
(2)E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3.
[考点] 本题考查的知识点是离散型随机变量分布列的性质及数学期望E(X)的求法.
2. 设函数f(x)在[0,a]连续,在(0,a)可导,且f(0)=0,f'(x)>0,当0≤t≤a时,把图中阴影部分的面积记为S(t).求当t为何值时S(t)最小.
解:由图知,当0≤t≤a时,
S'(x)=(2t-a)f'(t)+2f(t)-f(t)-f(t)=(2t-a)f'(t).
故当
时,S'(t)<0;
时,S'(t)=0;当
时,S'(t)>0.
故S(t)在
时取得最小值.
3. 设工厂A到铁路线距离为20公里,垂足为B,铁路线上距离B为100公里处有一原料供应站C,现从BC间某处D向工厂A修一条公路,为使从C运货到A运费最省,问D应选在何处?(已知每公里铁路与公路运费之比为3:5)
解:如图,设BD为x公里,铁路每公里运费为a,则公路每公里运费为
,于是总运费为
得唯一驻点x=15∈(0,100).
故当D距B为15公里时,从C运货到A运费最省.
4. 计算
解:
这是变上限定积分的问题.用洛必达法则与变上限积分的导数来求解.
5. 求函数
,在[0, 2π]上的最大值和最小值.
解:f(x)=-sin2x+cosx=cosx(1-2sinx),令,f'(x)=0,在(0,2π)内解得驻点为
,
,求出以上各点及端点处函数值:
比较可得f(x)在[0,2π]上最大值为
,最小值为
6. 设
,求证:
证:方法一:
对l>0,g>0,
故
对l<0,g<0,有
故
为避免遗漏讨论l<0,g<0的情形,分析其解法,不难发现,
不分开是问题的关键,故有
方法二:
故
若使用对数求导法,则可避免上述讨论.
方法三:
利用隐函数求导法,有
故
7. 若抛物线y=x
2与直线x=k,x=k+2及y=0所围图形的面积最小,求k.
解:因为y=x
2≥0,图形面积为
令S'(k)=4k+4=0,得驻点k=-1.又S"(k)|
k=-1=4>0,
所以当k=-1时,S(k)取最小值.
8. 计算
解:
此题中u=ln(2x+1),dv=dx,可以直接用分部积分公式积分.