第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 下列不定积分计算正确的是______
A.∫x
2dx=x
3+C
B.
C.∫sinxdx=cosx+C
D.∫cosxdx=sinx+C
A B C D
D
[解析] 这类题可以通过直接计算不定积分后进行选择,也可以对不定积分求导看是否等于被积函数来进行选择.
7. 设f(x)在[a,b]上连续,则下列各式中______不成立.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由定积分的性质知,A、B、C选项都成立,若a=-b,且f(x)为奇函数,则
0,而f(x)为奇函数,不一定有f(x)=0,如f(x)=x,x
3等等,f(x)都是奇函数,使得
0,故选D.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 若
,则a=______.
[解析] 被积函数中的xsin
4x是奇函数,而
是偶函数.则有
所以
2. 设z是方程x+y-z=e
z所确定的x与y的函数,则dz=______.
[解析] 设F(x,y,z)=x+y-z-e
z=0,
3. 已知函数
在x=0点的极限存在,则a=______.
1
[解析]
,若在x=0点极限存在,则a=1.
4. 斜边长为l的直角三角形中,最大周长为______.
[解析] 该题也是条件极值问题,用拉格朗日乘数法求解.
设直角三角形的两直角边长分别为x和y,周长为z,且
z=l+x+y(0<x<l,0<y<l).
条件函数为l
2=x
2+y
2.
令F(x,y,λ)=l+x+y+λ(x
2+y
2-l
2).
求解方程组
根据实际意义,一定存在最大周长,所以
时,即斜边长为l时的等腰直角三角形周长最大,且此周长为
.
5. 若
,则
3
[解析] 因为
,又因为数列有无极限和其极限值是多少与数列中含有限项的个数无关,所以
,则原式=3.
6. 若f(x)在x=a处可导,则
8f'(a)
[解析] 因为f(x)在x=a处可导,
7.
2
[解析] 本题除了用极限的运算法则求得结果外,也可利用连续函数在一点处的极限值等于函数在该点处的函数值求得结果,
8. 从1到10这十个正整数中任取一数,取得奇数的概率为______.
[解析] 1到10这十个正整数中,1,3,5,7,9为奇数.
9. 曲线
与直线x=1,x=4和x轴所围成的图形绕z轴旋转所得旋转体的体积为______.
[解析] 由题作图,由图可知所求体积为
10. 设f(x)在点x=x
0处可导,且f(x
0)=0,f'(x
0)=2,则
-2
[解析]
=-2.
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 求
的一阶导数y'.
解:两边先取对数,再求导.
2. 计算
解:
利用两个重要极限之—
变形后求解.
3. 当x<0时,证明e
2>1+x
证:设F(x)=ex-x-1,F'(x)=ex-1。
当x<0时,F'(x)<0,F(x)单调下降,
所以当x<0时,F(x)>F(0)=0,
即ex-x-1>0,得ex>x+1.
4. 求一个正弦曲线与x轴所围成图形的面积(只计算一个周期的面积).
解 取从0~2π的正弦曲线如图,设所围图形面积为S,则
注意到图形是对称的,可直接得出
5. 设
,求y
(12).
解:
所以
求高阶导数,不能采取简单的逐阶求导方法,其关键是找出规律.
6. 设函数
,其中φ,
有二阶偏导数,
证明:
证:对x求导,得
再对x求导,得
对y求导,得
类似可得,
所以
7. 计算
解:
[考点] 本题主要考查不定积分的分母有理化问题.
8. (1)求在区间[0,π]上的曲线y=sinx与z轴所围成图形的面积S.
(2)求(1)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.