第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 设函数f(x)在[a,b]上连续,且F'(x)=f(x),有一点x
0∈(a,b)使f(x
0)=0,且当a≤x≤x
时,f(x)>0;当x
0<x≤b时,f(x)<0,则f(x)与x=a,x=b,x轴围成的平面图形的面积为______
- A.2F(x0)-F(b)-F(a)
- B.F(b)-F(a)
- C.-F(b)-F(a)
- D.F(a)-F(b)
A B C D
A
[解析] 由F'(x)=f(x),则
,而f(x)与x=a,x=b,x轴围成的平面图形的面积为
,故选A.
3. 设∫f(x)dx=e
x+C,则∫xf(1-x
2)dx=______
A.2e
1-x2+C
B.xe
1-x2+C
C.
D.
A B C D
C
[解析] 凑微分法,
,故选C.
7. 掷两粒骰子,出现点数之和为5的概率为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 总的样本点为6×6=36个,
点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4个样本点,所求概率为
9.
A.0
B.
C.
D.1
A B C D
B
[考点] 本题考查重要极限Ⅰ:
[解析]
10.
是函数f(x)在点x=x
0处连续的______
- A.必要条件
- B.充分条件
- C.充分必要条件
- D.既非充分又非必要条件
A B C D
A
[解析] 函数f(x)在点x=x
0处连续的充要条件是
因此
只是f(x)在点x
0处连续的必要条件,选A.
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 在曲线y=x
2 (x≥0)上某点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形的面积为
,试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线方程;
(3)由上述曲线和切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
解:(1)设点A为
.由y'=2x,得过点A的切线斜率为2a
0,则切线方程为
即
由题作图,由图知
解得a
0=1(x>0).所以点A的坐标为(1,1).
(2)过点A的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(3)由图知绕x轴旋转的体积为
2. 求函数y=x
3-2x
2的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点.
解:函数y的定义域是(-∞,+∞).
y'=3x
2-4x=x(3x-4),令y'=0,得驻点x
1=0,
,故x=0是极大值点,极值是y=0;
所以
是极小值点,极值是
当-∞<x<0时,y'>0;当
时,y'>0,所以y的单调增加区间是
当
时,y'<0,所以y的单调减少区间是
.
令y"=0,得
当
时,y"<0,曲线在
内是下凹的;
当
时,y">0,曲线在
内是上凹的,拐点是
列表如下:
3. 甲袋中有15只乒乓球,其中3只白球,7只红球,5只黄球,乙袋中有20只乒乓球,其中10只白球,6只红球,4只黄球.现从两袋中各取一只球,求两球颜色相同的概率.
解:样本空间的样本点应该是甲、乙两袋中的样本点之积,也就是从甲袋中取一个球再从乙袋中取一球的所有取法,即
两球颜色相同的情况有三种,因此其样本点共有
,所以两球颜色相同的概率为
4. 证明:当x>1时,
证:设
则
当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)单调增加,
则当x>1时,f(x)>f(1)=0,
利用函数的单调性是证明不等式的一种常用方法.其关键是构造一个函数,使其在某区间上单调增加或单调减少.
5. 设平面图形是由曲线
和x+y=4围成的.
解:由曲线
和x+y=4围成的图形如图阴影部分所示.
求两条曲线的交点,
得交点(1,3)与(3,1).
首先画出草图,求出交点后,确定积分变量,利用面积公式、体积公式计算求得结果.
6. 计算
解:
由于是“
”型,可以采用洛必达法则求极限.
7. 讨论
的单调性、极值和拐点.
解:令f
'(x)=xe
-x=0,得驻点x=0.
当x>0时,f
'(x)>0,f(x)单调增加;
当x<0时,f
'(x)<0,f(x)单调减少.
由上面结果可知,f(x)在x=0处有极小值
令f
"(x)=(1-x)e
-x=0,解得x=1.
当x<1时,f"(x)>0,曲线f(x)是凹的;
当x>1时,f"(x)<0,曲线f(x)是凸的.
故点(1,f(1))为拐点,而
故拐点为(1,1-2e
-1).
求函数的单调性,极值和拐点问题,都需要对函数求导,单调性与极值问题求一阶导数,拐点求二阶导数.
8. 求
的间断点,并指出类型.
解:因
,故x=0,x=1,x=2是f(x)的间断点.
又因f(0)、f(1)、f(2)都不存在,所以x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点);x=1,x=2是f(x)的第二类间断点(无穷间断点).