第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 设z=x
3e
y2,则dz=______
- A.6x2yey2dxdy
- B.x2ey2(3dx+2xydy)
- C.3x2ey2dx
- D.x3ey22dy
A B C D
B
[解析] 方法一:公式法
因为
所以
故选B.
方法二:微分法
dz=d(x
3)·e
y2+x
3·d(e
y2)=3x
2·e
y2dx+x
3.e
y2·2ydy=x
2e
y2(3dx+2xydy)
2. 设f(x)为[-a,a]上定义的连续奇函数,且当x>0时,f(x)>0,则由y=f(x),x=-a,x=a及x轴围成的图形面积S,其中______是不正确.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)>0,故当x<0时,f(x)<0,且
因此在区间[-a,0]上的面积应为
,所以B项不对.
3. 函数f(x)=|2x-1|在点
处的导数是______
A.0
B.
C.2
D.不存在
A B C D
D
[解析] 绝对值求导的关键是去绝对值符号,然后根据分段函数求导数.
因为
所以
因为
,所以f(x)在
处的导数不存在.
5. 当x→0
+时,______与x是等价无穷小量.
A.
B.ln(1-x)
C.
D.x
2(x+1)
A B C D
C
[解析]
所以选C.
8.
A.
B.
C.
D.不存在
A B C D
D
[解析]
,所以
不存在,故选D.
10. 设
(x≠0)在x=0处连续,且
,则a=______
A.2
B.-2
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因
连续.
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 设
在x=0处连续,求k的值.
解:在x=0处,f(0)=e
sin0-3=-2,
f(x)在x=0处连续
f(0)=f(0-0)=f(0+0),所以k=-2.
2. 求
解:
3. 求由曲线y=x
2与x=2,y=0所围成图形分别绕x轴,y轴旋转一周所生成的旋转体体积.
解:如下图,绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为
绕y轴旋转一周所得的旋转体体积为
4. 计算
解:
虽有字母a,b,但只有x才是积分变量,将a,b看作常数,采用凑微分法即可.
5. 已知函数f(x)连续,
,求
的值.
解:令x-t=u,有-dt=du.当t=0时,u=x;当t=x时,u=0.
两边对x求导,得
即
令
6. 一批零件中有10个合格品和2个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出废品后不再放回,用X表示在取得合格品以前已取出的废品数,求:
(1)随机变量X的分布列;
(2)随机变量X的分布函数.
解:(1)由题意知,随机变量X的可能值是0,1,2,且有
随机变量X的分布列为
(2)
7. 设函数
解:
对y求偏导时,将x视为常数.求二阶混合偏导数时,次序可以互换,如本题中先求
8. 甲乙两人独立地向同一目标射击,甲乙两人击中目标的概率分别为0.8与0.5,两人各射击一次,求至少有一人击中目标的概率.
解:设A={甲击中目标},B={乙击中目标},C={目标被击中}
则P(C)=P(A+B)
=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.8+0.5-0.8×0.5
=0.9