第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 函数f(x)在点x
0处有定义是f(x)在点x
0处连续的______
- A.必要不充分条件
- B.充分不必要条件
- C.充分必要条件
- D.既不充分又不必要条件
A B C D
A
[解析] 由连续的定义:
,得f(x)在点x
0处一定有定义;但f(x)在点x
0处有定义不能保证f(x)在x
0的邻域内一定连续.
6. 设f(x+y,xy)=x
2+y
2-xy,则
A B C D
C
[解析] 因为f(x+y,xy)=(x+y)
2-3xy,所以f(x,y)=x
2-3y,
则有
7. 设z=z(x,y)是方程
确定的隐函数,则
A B C D
C
[解析] 方法一:
该函数可化为:z=ye
x,故
方法二:公式法.
方程可化为:
.令
于是
,故选C.
9. 设f(x)=x
3sinx,则
A.π
2 B.
C.
D.π-2
A B C D
C
[解析]
三、解答题(本题共70分.解答应写出推理、演算步骤)1. 计算
解:
含三角函数的极限式应优先考虑利用重要极限
2. 计算∫e
2xcose
xdx.
解:方法一:
∫e
2xcose
xdx=∫e
xcose
xd(e
x)=∫e
xd(sine
x)
=e
xsine
x-∫sine
xd(e
x)=e
xsine
x+cose
x+C
方法二:
凑微分法与分部积分法结合起来求不定积分是常用方法之一,本题也可先作变量代换,然后
再使用分部积分法,即令e
x=t,x=lnt,
,于是
∫e
2xcose
xdx=∫costdt=tsint-∫sintdt
=tsint+cost+C=e
xsine
x+cose
x+C
3. 设事件A、B的概率分别为
,如果
,求
的值;如果A与B互斥,求
的值;如果
,求
的值.
4. 设f(x)=(x-1)φ(x),,且φ(x)在x=1处连续,证明:f(x)在点x=1处可导.
解:由
(又因为φ(x)在x=1处连续,所以
所以f(x)在x=1处可导.
5. 设
,其中f为可微函数,证明
证:因为
这是抽象的求偏导数的问题,只需注意:对x求偏导时,y当作常数,对y求偏导时,x当作常数,再用一元函数的求导公式即可.
6. 设
7. 求曲线
的水平渐近线和铅直渐近线.
解:因
,所以曲线有水平渐近线y=0.
又因
,所以曲线有铅直渐近线x=2.
8. 设平面区域D由曲线
和直线y=2,x=2围成,求:
(1)平面区域D的面积S;
(2)积分