一、选择题1. 若点O与点F(-2,0)分别为双曲线
=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
的取值范围为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由F为左焦点得a
2=3,则双曲线方程为
,设P(x
0,y
0),则
=(x
0,y
0)·(x
0+2,y
0)=
-
,由P在右支得
,所以
.
4. 若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是______
A.
B.0<a≤1
C.
D.
A B C D
D
[解析] 不等式纽
表示的平面区域如图所示(阴影部分).解
得
解
得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0<a≤1或
7. 定义在R上的任意函数f(x),都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10
x+1),那么______.
A.g(x)=x,h(x)=lg(10
x+10
-x+2)
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] f(-x)=lg(10
-x+1)=
=lg(10
x+1)-lg10
x=lg(10
x+1)-x,A、B、D经过验证都不正确.对于选项C,g(x)+h(x)=lg(10
x+1)=f(x),g(x)显然为奇函数,
,即h(x)为偶函数,故选C.
8. 设曲线
在点
处的切线与直线ax+5y+1=0垂直,则a=______.
A.4
B.-4
C.
D.
A B C D
A
[解析]
是曲线
上的点,又因为
故在点
处切线的斜率为
,又因为切线与直线ax+5y+1=0垂直,即
解得a=4.
二、填空题1. 已知a⊥b,|a|=2,|b|=4,则|a+b|______|a-b|.(填“>”“<”或“=”)
=
[解析] 依题意知a·b=0,所以
所以|a+b|=|a-b|.
2. 已知a=-2i+2j,b=-mi+j,c=4i+nj是平面内的三个向量,若此三向量共线,则m+n=______.
-3
[解析] 根据题意知a=(-2,2),b=(-m,1),c=(4,n),因为三向量共线,所以
解得m=1,n=-4,所以m+n=-3.
3. 已知二项式(mx+2)
8展开式的第三项与第六项的系数相同,则m=______.
[解析] 根据题意可知,
化简得,m
3=16=2
3×2,解得
4. “望梅止渴”属于第______信号系统的条件反射,“谈虎色变”属于第______信号系统的条件反射.
5. 定义集合运算:A·B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B},设集合A={-2,0,1},集合B={tanα,sinα}
则集合A·B的所有元素之和为______.
[解析] 依题意可知,集合
因为A·B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B},集合A={-2,0,1},所以
所有元素之和为
三、解答题某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,据统计,随机变量ξ的概率分布如下: 1. 求a的值和ξ的数学期望;
由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2,所以ξ的概率分布列为
ξ
|
0
|
1
|
2
|
3
|
P
|
0.1
|
0.3
|
0.4
|
0.2
|
所以Eξ=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.
2. 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
设事件A表示“两个月内共被投诉2次”,事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”,事件A2表示“两个月内每月均被投诉1次”.则由事件的独立性得P(A1)=2×0.4×0.1=0.08;P(A2)=0.3×0.3=0.09,
所以P(A)=P(A1)+P(A2)=0.084.0.09=0.17,故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
在平面直角坐标系中有抛物线G,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),且抛物线的焦点到准线的距离为2.3. 求抛物线的方程;
已知抛物线的焦点到准线的距离为2,所以
即|p|=2,
又因为p>0,所以p=2,故抛物线的方程为x
2=4y.
4. 若一斜率为正的直线过点N(0,-3)且与抛物线有交点,则求直线斜率的取值范围.
根据题干可设直线方程为y=kx-3(k>0).
联立方程可得
化简得到x
2-4kx+12=0,
当直线与抛物线相切时,此方程只有一个实数解,故Δ=(4k)
2-4×12=0,解得
因为直线斜率为正,所以只有当
时,直线与抛物线有交点.
故直线斜率的取值范围为
5. 已知⊙C与直线y-2x-2=0和直线y-2x+4=0都相切,且圆心在直线
上,则求⊙C的方程.
由图⊙C与两直线均相切,且从方程式可知,这两条直线平行.又因为直线y-2x-2=0与直线
的斜率的乘积为-1,故这两条直线垂直,即圆心所在直线与圆的两条切线均垂直,由此可知,两切线所截得的部分即为圆的直径,图象如下:
故AB为圆的直径,联立方程
解得点A的坐标为
同理,联立
解得点B的坐标为
点C为A、B的中点,则其坐标为
故⊙C的方程为
6. 某公司以每亩50万元的价格收购了一块20亩的土地,计划修建6个小区,其中A、B小区各修建一栋18层的楼房,C、D小区各修建一栋15层的楼房,E、F小区各修建一栋10层的楼房.为满足不同人群的需求,A、B小区建经济适用房,每层800m
2,初步核算成本为800元/m
2,售价为2500元/m
2;C、D小区建成中档商品房,每层800m
2,初步核算成本为1000元/m
2,售价为2800元/m
2;E、F小区建高档商品房,每层1000 m
2,初步核算成本为1500元/m
2,售价为3000元/m
2.整个小区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道,建花园、运动场和超市等,这些所需费用共计需要3500万元.若房屋完全售完,则这个公司的赢利是多少?
公司收购土地所花的费用为50×20=1000(万元),
建房成本为2×(800×800×18+800×1000×15+1000×1500×10)=7704(万元),
售出总金额为2×(800×2500×18+800×2800×15+1000×3000×10)=19920(万元),
则公司的赢利为19920-1000-7704-3500-7716(万元).
则房屋全部售完,这个公司的赢利为7716万元.
[解析] 本题主要考查数的计算.
已知数列{an}为等差数列,且满足S4-S3=2S1,a2n=2an-2.7. 求数列{a
n}的通项公式;
已知S4-S3=2S1,即a4=2a1,
又因为a2n=2an-2,则当n=1时,a2=2a1-2,所以a2=a4-2,
即a4-a2=2=2d,解得d=1,
a2=a1+d=2a1-2,故a1=3.
即{an}是以3为首项,1为公差的等差数列,通项公式an=n+2.
8. 若
(p为常数),求数列{b
n}的前n项和T
n.