一、选择题7. 命题“若
,则tanα=1”的逆否命题是______。
A.若
,则tanα≠1
B.若
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则
D.若tanα≠1,则
A B C D
C
[解析] 因为“若p,则q”的逆否命题为“若¬p,则¬q”,所以“若
,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则
”。
11. 给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中,为真命题的是______。
A B C D
D
[解析] ①若两条直线平行,则结论不成立;②正确;③两条直线可能为异面直线,结论不成立;④正确。
13. 求一元二次方程x
2+3x-1=0的解,除了课本的方法外,我们也可以采用图象方法:在平面直角坐标系中,画出直线y=x+3和曲线y=
图象,则两图象交点的横坐标即该方程的解。类似地,我们可以判断方程x
3-x-1=0的解的个数有______。
A B C D
B
[解析] 可将方程变形为x
2-1=
,在平面直角坐标系中,画出抛物线y=x
2-1和曲线y=
的图象,可知方程有一个解。如下:
18. 同时掷两个质地均匀的骰子,向上点数值和是5的概率为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 掷两个骰子向上点数值有四种情况和是5分别为1,4;2,3;3,2;4,1,故概率应为
。
19. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(O,4)、(-3,0),点E、F分别为AB、BO的中点,分别连接AF、EO,交点为P,则点P坐标为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] E点坐标为(
,2),EF为△OAB的中位线,则EF:AO=1:2。又由于△EFP∽△OPA,则P分线段EO之比为1:2,则P点坐标为(-1,
)。
20. {a
n}为等比数列,且a
4a
7=-512,a
3+a
8=124,公比q为整数,则a
10的值为______。
A B C D
C
[解析] a4a7=a3a8=-512,a3+a8=124且公比q为整数,则a3=-4,a8=128,所以q=-2,故a10=512。
24. 已知三棱柱ABC-A
1B
1C
1的侧棱与底面边长都相等,A
1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC
1所成的角的余弦值为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 设BC的中点为D,连结A
1D,AD,易知θ=∠A
1AB即为异面直线AB与CC
1所成的角,由余弦定理,易知cosθ=cos∠A
1AD·cos∠DAB=
。
二、综合知识判断题4. 1986年4月全国六届人大四次会议通过了《中华人民共和国义务教育法》,规定国家实行九年制义务教育,标志着中国义务教育制度的确立。
对 错
A
[解析] 1986年4月全国六届人大四次会议通过了《中华人民共和国义务教育法》,规定国家实行九年制义务教育,标志着中国义务教育制度的确立。
三、填空题1. 已知{a
n}是等差数列,若
,则a
5+a
6+…+a
9的最大值是______。
25
[解析] 由已知得,(a
3-2d)
2+(a
3+2d)
2≤10,则
,又由柯西不等式
≥(a
3+4d)
2,即
≤25,a
7最大取值为5,a
5+a
6+…+a
9=5a
7,所以答案为25。
2. 函数f(x)对于任意实数满足条件f(x+2)=
,若f(1)=-5,则f(f(5))=______。
。
[解析] 由f(x+2)=
得f(x+4)=
=f(x),所以f(5)=f(1)=-5,则f(f5))=f(-5)=f(-1)=
。
3. 关于x的不等式
x
2+2x>mx的解集为{x|0<x<2},则m=______。
1
[解析] 将方程转化为x(x-4+2m)<0,由此方程解集为{x|0<x<2},知4-2m=2,故m=1。
4. 点A在双曲线
上,且OA=4,过A作AC垂直于x轴,垂足为C,OA的垂直平分线交OC于B,则三角形ABC的周长为______。
。
[解析] 设A点坐标为(x
0,y
0),AC=y
0,OC=x
0,由于点B是在OA的垂直平分线上,OB=AB,三角形ABC的周长=AB+AC+BC=AC+OC=x
0+y
0,由已知可得x
0y
0=6,c
02+y
02=4
2,即可求出三角形ABC的周长为
。
5. 设等差数列{a
n}的公差d是2,前n项的和为S
n则
=______。
3。
[解析]
。
6. 已知tan(x+
)=2,则
的值为______。
。
[解析]
。
7.
,若f(x)______。
8. 与直线y=5相切,且与圆x
2+y
2-2x+2y-2=0外切的面积最小的圆的方程为______。
(x-1)2+(y-3)2=4
[解析] 已知圆的圆心为(1,-1),半径为2,所求圆若使半径最小一定有其圆心在x=1这条直线上,则所求圆的圆心横坐标为1,设所求半径为R,同时已知圆圆心到直线y=5的距离=2R+2=6,R=2,所求圆圆心到直线y=5的距离为R,可得圆心纵坐标为3。
9. 某影院有座位60排,每排50个座位,一次报告会坐满了听众,会后留下座位号为20的所有听众进行座谈,这种抽样方法是______。
系统抽样。
[考点] 本题主要考查抽样方法的种类。
[解析] 本题所选取的为系统抽样方法。
10. 由最小的自然数,最小的质数和最小的合数组成的三位数中,最大的数是______,最小的数是______。
420;204。
[解析] 最小的自然数为0,最小的质数为2,最小的合数为4,故组成的三位数中最大的为420,最小的为204。
四、解答题(共45分)1. 燃灯佛舍利古塔是通州八景之一,位于京杭大运河西岸,始建于北周时期,是古通州的象征,具有极高的艺术价值。某校数学小组为了测出塔的高度,他们来到与塔AB水平距离为31m远的建筑物CD的顶端C处观测,测得塔的顶部A的仰角为30°,其底部B的俯角为45°。
(1)请你补全图形,并将有关数据标入示意图中:
(2)请你帮助数学小组计算出塔AB的高度(结果精确到1m)。
(1)作出图中的仰角、俯角。
(2)作CE⊥AB于E
在Rt△ACE中
tan∠ACE=tan30°=
tan∠BCE=tan45°=
AE=CE·tan30°,BE=CE·tan45°
∴AB=AE+BE=(1+
)CE≈18+31=49。
答:塔AB的高度为49米。
2. 如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上。
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长。
(1)∵OD⊥AB,
(2)∵OD⊥AB,
∴AC=BC,
∵△AOC为直角三角形,DC=3,OA=5,
由勾股定理,可得
。
∴AB=2A C=8。
3. 小明在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线y=
+2x,其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m。
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)求出球飞行的最大水平距离;
(3)若小明第二次仍从此处击球,使其最大高度不变,而球刚好进洞,则球飞行的路线满足抛物线的解析式是什么?
(1)
把x=4代入y=
+2x得y=4
∴抛物线顶点坐标为(4,4)。
(2)
+2x=0
x
1=0,x
2=8
∴球飞行的最大水平距离为8m。
(3)根据(1)当x=4时球的最大高度为4,此时球刚好进洞,即坐标为(10,0),顶点为(5,4)
∴球飞行的路线满足抛物线的解析式为y=
。
4. 如图,在△ABC中,∠C=90°,在AB边上取一点D,使BD=BC,过D作DE⊥AB交AC于E,AC=8,BC=6。求DE的长。
在△ABC中,∠C=90°,4C=8,BC=6,
∴AB=
=10。
又∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4。
∵DE⊥AB,
∴∠ADE=∠C=90°。
∴△AED~△ABC。
如图,AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,且AB//CD。连接OB、OC,延长CO交⊙O于点M,过点M作MN//OB交CD于N。
5. 求证:MN是⊙O的切线:
证明:∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G,
。
∵AB//CD,∴∠ABC+∠DCB=180°。
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°=90°
∵MN//OB,
∴∠NMC=∠BOC=90°。
∴MN是⊙O的切线。
6. 当OB=6cm,OC=8cm时,求⊙O的半径。
连接OF,则OF⊥BC
由上一小题知,△BOC是直角三角形,
∴6×8=10×OF,∴OF=4.8cm。
即⊙O的半径为4.8cm。
7. 如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°,看这栋高楼底部C的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离AD为50m,求这栋楼的高度。(
取1.414,
取1.732)
在Rt△ABD中,∠BDA=90°,∠BAD=45°,
∴BD=AD=50m
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,
答:这栋楼约高136.6m。
已知二次函数图象的顶点是(-1,2),且过点。8. 求二次函数的表达式,并在下面的网格中画出它的图象;
依题意可设此二次函数的表达式为产y=a(x+1)
2+2,又点(0,
)在它的图象上,可得
=a+2,解得a=
。
所求为y=
(x+1)
2+2。
令y=0,得x
1=1,x
2=-3。
画出其图象如下图。
9. 说明对于任意实数m,点M(m,-m
2)在不在这个二次函数的图象上。
若点M(m,-m
2)在此二次函数的图象上,
则-m
2=
(m+1)
2+2
得m
2-2m+3=0。
方程的判别式:4-12=-8<0,该方程无解。
所以点M(m,-m
2)不在此二次函数的图象上。