一、单项选择题3. A,B为两个随机事件且P(B|A)=1,那么下列命题正确的是______。
A.A
B
B.B
A
C.B-A=
D.P(B-A)=0
A B C D
A
[解析]
,则P(AB)=P(A),即A
B,故选A.
5. 下列级数中为条件收敛的级数是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] A项中,
,发散;
B项中,
,发散;
C项中,级数
收敛,则原级数绝对收敛;
D项中,级数
发散,
收敛,则原级数条件收敛.
6. 若级数
都发散,则下列表述正确的是______。
A.
发散
B.
发散
C.
发散
D.
发散
A B C D
C
[解析] 如果
收敛,则由|a
n|≤|a
n|+|b
n|,|b
n|≤|a
n|+|b
n|,
可知级数
都收敛,与题设矛盾,故
发散.
7. 复数z=-i
8的辐角主值argz=______。
A.2π
B.π
C.0
D.
A B C D
B
[解析] 因为-i8=-1,所以arg(-i8)=arg(-1)=π.
10. 符号函数f(t)=sgn(2t-4),则傅里叶变换F[f(t)]=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因为
,由伸缩性质可得F[sgn(2t)]=
,再由平移性质可得
.
二、填空题1. 设4阶行列式
,A
ij为其代数余子式,则A
14+A
24+A
34+A
44=______.
0
[解析]
.
2. 设矩阵B的秩为2,
,则λ=______.
1
[解析] 由于R(B)=2<3,故|B|=0,即
=λ-1=0,故λ=1.
3. 10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买一张,则前3个购买者中恰有一个中奖的概率为______.
[解析] 前3个购买者购买奖券的情况共有
种,前3个购买者中恰有一个中奖的情况有
种,所以前3个购买者恰有一个中奖的概率为
.
4. 设ξ~B(n,p),E(ξ)=12,D(ξ)=4,则n的值是______.
18
[解析] E(ξ)=np=12,D(ξ)=np(1-p)=4,解得
,n=18.
5. 设S
n是级数
的前n项和,则
=______.
6. 幂级数
的收敛半径是______.
3
[解析] 原幂级数可化为
,
故收敛半径为
,
中
,收敛半径为R
2=
=3,故级数的收敛半径为3.
7. 设
,则z
1z
2的指数形式为______.
[解析]
,所以z
1z
2=.
8. 设z=0为函数
的m级极点,则m=______.
3
[解析] 由
可知,z=0为z
3的三级零点,z=0不是z+1的零点,故z=0为f(z)的三级极点,所以m=3.
9. 设向量α=(1,2,3),β=
,则α
Tβ=______.
[解析]
.
10. 设f(t)=e
-tsin5t,则F(s)=L[f(t)]=______.
[解析] 因为
,再由拉氏变换的位移性质可得L[e
-tsin5t]=
.
三、解答题1. 计算
.
2. 求矩阵X,使得
.
3. 小盒中原放4节新电池,2节旧电池某人使用时发现已丢失2节,但不知丢失了几节新电池.求此时任取2节均为新电池的概率.
设A
i=“丢失i节新电池"(i=0,1,2),B=“取得两节新电池”,则
,
,
.
设随机变量X的分布列为
4. 求常数a;
由概率的性质可知
,
故0.1+0.1+a+0.3+0.2=1,所以a=0.3;
5. 求P{0.5≤X<4};
P{0.5≤X<4}=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.3+0.3=0.7;
6. 求X的分布函数F(x)及F(3.2).
当x<0,F(x)=0,
0≤x<1时,F(x)=0.1,
1≤x<2时,F(x)=0.1+0.1=0.2,
2≤x<3时,F(x)=0.1+0.1+0.3=0.5,
3≤x<4时,F(x)=0.1+0.1+0.3+0.3=0.8,
当x≥4时,F(x)=0.1+0.1+0.3+0.3+0.2=1.
所以
故F(3.2)=0.8.
设随机变量X的概率密度为且P(0<x<a)=1-2e-1,求:7. 常数a;
故
;
9. 求解线性方程组
10. 求微分方程x"+4x'+5x=δ(t)+δ'(t),x(0)=0,x'(0)=2的解.
,
令L[x(t)]=X(s),对方程两边取拉氏变换,并代人初始条件得
所以原方程的解为