一、单项选择题5. 正项级数
收敛的充分必要条件是______。
A.
B.
且u
n+1≤u
n,n=1,2...
C.
D.部分和数列有界
A B C D
D
[解析] 正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界,故选D.
6. 下列级数中发散的是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] C项中,
,则级数
发散,故选C.
A、B项可用比值审敛法,
判断其收敛.
D项用比较审敛法的极限形式,
,
收敛,故
收敛.
7. 已知
,则z的辐角主值是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析]
.
9.
______,其中积分路径的方向为正向.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
.
二、填空题1. 设A,B为三阶方阵,|A|=4,AB=E,则|B|=______.
[解析] AB=E,则|A||B|=|E|,即4|B|=1,故|B|=
.
2. 矩阵
的秩为______.
2
[解析]
,故R(A)≠3.
,故A有二阶行列式不为零的子阵,所以R(A)=2.
3. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别为
,则3人中恰有2人合格的概率为______.
[解析] 设甲、乙、丙三人考试合格用事件A
i(i=1,2,3)表示,则3人中有2人合格的概率为
.
4. 已知离散型随机变量X的概率分布为:P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,则X的方差为______.
0.61
[解析] E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3,E(X2)=12×0.2+22×0.3+32×0.5=5.9,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5.9-(2.3)2=0.61.
5. 已知
,则
______.
2e
[解析] 当n≥2时,
,所以
.
6. 级数
的收敛区间为______.
(-∞,+∞)
[解析]
,R=+∞,所以级数
的收敛区间为(-∞,+∞).
7. 设F[f(t)]=F(ω),则F[f(t)sinω
0t]=______.
[解析]
8. 函数
的周期是______.
10πi
[解析] e
z的基本周期为2πi,故函数f(z)的周期为
.
9. 设
,则A
2=______.
[解析]
.
10. 设
,则f(t)=L
-1[F(s)]=______.
1-cost
[解析] 因为
,利用积分性质可得
.
三、解答题1. 计算行列式
.
2. 已知X=AX+B,其中
,求矩阵X.
由X=AX+B得(E-A)X=B,
而
,|E-A|=3≠0,故E-A可逆,
故可得
,
所以
.
设随机变量X的概率密度
求:3. X的分布函数F(x);
当x≤0时,
;
当0<x<1时,
;
当x≥1时,
,
所以
4. 概率
.
.
5. 利用拉普拉斯变换解微分方程y"-2y'-3y=4e
2t(t>0),y(0)=2,y'(0)=8的初值问题.
设Y(s)=L[y(t)],方程两边取拉氏变换并代人初值条件,得
,
即
.
解得
.
取拉氏逆变换得
.
6. 一本书有500页,共有100个错字,随机分布在任意一页上,求一页上错字个数X的均值,方差.
由题可知,随机选取一页有k个错误的概率为
,故可知
,所以
.
7. 当a取何值时,线性方程组
有解,并求出其通解.
方程组的增广矩阵
因此,当a=1时,R(B)=R(A)=2,方程组有解.此时
,
同解方程组为
,
则方程组的通解为
.
设随机变量X的分布函数为
8. 求
;
对于任意指定的实数a,只要随机变量X(不管什么类型)的分布函数在点a处连续,则P(X=a)=0,故有
9. 求概率密度函数f(x).
由于在f(x)的连续点处有
,所以