一、单项选择题在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案.3. 曲线
在点(0,1)处的切线与x轴的交点坐标为______
A.
B.(-1,0)
C.
D.(1,0)
A B C D
A
[解析] 由已知可得:切线斜率k=y'l
x=0=x
2+x+6|
x=0=6,切线方程为y=6x+1,与x
轴的交点即当y=0时得交点坐标为
故选A.
4. 当x→0时,
等价,则a=______
A.0
B.∞
C.
D.
A B C D
C
[解析] 当x→0时,
故选C.
5. 极限
______
A.1
B.-1
C.
D.
A B C D
D
[解析] 分子分母最高幂次相同时,极限等于最高幂次系数比,故:
故选D.
6. 极限
______
A.1
B.
C.
D.-1
A B C D
C
[解析]
故选C.
7. 当x→0时,e
2x2-1是(x
2+2x)的______
- A.等价无穷小
- B.低阶无穷小
- C.高阶无穷小
- D.同阶但非等价无穷小
A B C D
C
[解析] 由于
可知当x→0时,e
2x2-1是x
2+2x的高阶无穷小,故选C.
8. 已知函数
在x=1处连续,则a=______
A.1
B.-1
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由f(x)在x=1处连续,得
左极限等于右极限,即2a-1=a,故a=1,故选A.
11. 已知
求f
-1(1)=______
A.-1
B.1
C.
D.3
A B C D
A
[解析] 先求出反函数,反解
交换x,y得反函数
,则f
-1(1)=-1.或也可根据反函数的值域即为原来函数的定义域,令
解得x=-1,即f
-1(1)=-1,故选A.
17. 计算不定积分
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由于
故选C.
23. 已知z=xln(x+y),则
______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
故选C.
27. 已知
收敛,则下列哪个正确?______
A.
必收敛
B.
C.
不确定
D.
发散
A B C D
C
[解析] 选C举例:
收敛,而
发散,排除A;
不存在,排除B;再举例:
收敛,故选C.
二、填空题1. 极限
______.
e3
[解析]
2. 微分方程y"-10y'+9y=0的通解是______.
y=C1ex+C2e9x
[解析] 特征方程为r2-10r+9=0,特征根r1=9,r2=1,故通解为y=C1ex+C2e9x,其中C1,C2为任意常数.
3. 设f(x+1)=2x+3,求f[f(x)-3]=______.
4x-3
[解析] 令x+1=t,x=t-1,所以f(x)=2x+1,故f[f(x)-3]=f(2x+1-3)=f(2x-2)=4x-3.
4. 已知函数
求y的增区间是______.
(1,+∞)
[解析]
为变上限函数,求导得
令x-1>0,故得x>1,所以单调递增区间为(1,+∞).
5. 计算不定积分
______.
[解析]
6. 交换积分次序
______.
[解析]
7.
______.
[解析] 交换积分次序
8. 求出z=x
2+y
2的全微分dz=______.
2xdx+2ydy
[解析]
9. 将
展开成x+2的幂级数为______.
[解析]
10. 求参数方程
的导数
______.
-tant
[解析]
三、计算题(每小题5分,共50分)2. 求极限
.
3. xy+xyz=2x-4y, (xy≠0),求
令F(x,y,z)=xy+xyz-2x+4y,
则F
x'=y+yz-2,F
y'=x+xz+4,F
z'=xy,
4. 已知
令x-2=t,则dx=dt,当x=1时,t=-1;当x=3时,t=1,又
5. 求过点(9,8,5)且与直线
平行的直线方程.
设直线
的方向向量为
则
又所求直线
平行,故所求直线的方向向量为
又所求直线过点(9,8,5),则所求直线方程为
6. 平面区域D:y=1,y=x,x=2,所围成的。计算二重积分
联立方程{
解得交点(2,2),(1,1),(2,1),
7. 求幂级数
的收敛区间(不考虑两个端点的收敛性).
所收敛半径
故收敛区间为(-5,5).
8. 求xy'+y=cosx(x>0)的通解.
C为任意常数
9. 求
的极值.
函数定义域为R,y'=x
2-3x+2=(x-1)(x-2),令y'=0得x
1=1,x
2=2,当y'>0有x>2,x<1;当y'<0有1<x<2,所以函数在x=1时,取得极大值x=1时,取得极大值
;在x=2时候取得极小值
10. 求椭球面x
2+2y
2+3z
2=9在点(2,1,1)处的切平面方程.
令F(x,y,z)=x
2+2y
2+3z
2-9,得到
,故切平
面法向量
切平面方程2(x-2)+2(y-1)+3(z-1)=0,所以
2x+2y+3z-9=0.
四、应用题(每小题7分,共14分)1. 求曲线y=x
2与直线x=2,y=0所围成的图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
解:联立方程
得交点(2,4)由题意知
2. 注入人体血液的药品浓度随着时间的变化而变化,据临床检测,某麻醉药品在某人血液中的浓度C与时间他的函数关系C(t)=0.30t+0.04t
2-0.0004t
3,其中C的单位是毫克,t的单位是秒,试问这种药品从注入此人的身体开始,经过多久时间在其血液中的浓度达到最高?(
计算最终结果采取四舍五入法保留小数点后两位有效数字)
解:由题意知
C'(t)=0.30+0.08t-0.0012t2令C'(t)=0,得t1≈-3.54(舍),t2≈70.21由于驻点唯一实际问题必有最值,故该驻点即为所求,即经过约70.21秒时药物在其血液中的浓度达到最大.
五、证明题1. 设f(x)在区间[a,b]上连续,(a,b)内可导,f(a)=a,f(b)=b,且x∈[a,b]时,f(x)≠0,
证明:至少存在一点ξ∈(a,b)内使得f(ξ)=ξ·f'(ξ)成立.
构造辅助函数
显然F(x)在[a,b]内连续,F(x)在开区间(a,b)内可导且
F(a)=F(b),由罗尔定理可知,至少存在一点ξ∈(a,b)满足
又因为f(x)≠0所以有f(ξ)-ξ·f'(ξ)=0,得证f(ξ)=ξ·f'(ξ).