二、填空题1. 已知f(0)=1,f(1)=2,f'(1)=3,则
.
2
[解析] 由题设有
2. 设函数
3. 设
,则其在区间[0,2]上的最大值为______.
[解析] 由
知
,所以y在[0,2]上单调递减.于是y
max=
4.
5. 设矩阵
,且秩(A)=3,则k=______.
-3
[解析] 由|A|=0入手求k的值.因为
,所以由|A|=0得k=1和-3.当k=1时,
它的秩为1,不合题意;当k=-3时,
,由于|A|有不为零的三阶子式
,所以r(A)=3,因此k=-3.
三、计算题(本大题共64分)1. 设z=f(u,v),而u=x
2y,
,其中f(u,v)存在偏导数,求
解 由复合函数的链式法则得
由于所给z=f(u,v)为抽象函数,而
于是
[解析] 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法.题中已给出u=x
2y,
,所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可.
2. 求函数
的单调区间及极值.
函数的定义域为(-∞,+∞),则该函数的导数为
y'=x
2-4x+3=(x-1)(x-3),
令y'=0,得x=1,x=3,
函数的单调区间如下表所示:
x
|
(-∞,1)
|
1
|
(1,3)
|
3
|
(3,+∞)
|
y'
|
+
|
0
|
-
|
0
|
+
|
y
|
单调递增
|
极大
|
单调递减
|
极小
|
单调递增
|
极大值为y|
x=1=
,极小值为y|
x=3=1.
3. 求由曲线y=2x-x
2与y=x所围成的平面图形的面积S,并求此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V
x.
解:
所给平面图形如图中阴影部分所示,由
可解得
因此
[考点] 本题考查的知识点为定积分的几何应用
[解析] 利用定积分表示平面图形的面积;利用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体体积.
4. 当λ为何值时,线性方程组
有唯一解?无解?有无穷多解?并在有解时求出其全部解.
该线性方程组所对应的增广矩阵为
(1)当λ≠-1,0,1时,r(A)=r(B)=3(其中A为系数矩阵),方程组有唯一解.
方程组唯一解为
(2)当λ=-1时,
同解方程组
或
通解为
所以λ=-1时,方程组有无穷多解.
(3)当λ=0时,
r(A)=2,r(B)=3,方程组无解.
(4)当λ=1时,
r(A)=2,r(B)=3,该线性方程组无解.
5. 求微分方程y"+2y'=3x的通解.
所给微分方程为二阶常系数线性非齐次方程.
所对应的齐次方程的特征方程为
r
2+2r=0,
特征根为
r
1=0,r
2=-2.
对应齐次方程的通解为
Y=C
1+C
2e
-2x.
自由项f(x)=3x,α=0为特征根.
设原方程的特解为
y
*=x(ax+b),
则
y
*'=2ax+b,y
*"=2a,
代入原方程可得
2a+4ax+2b=3x,
从而有
解得
因此
所以,原方程的通解为
6. 求微分方程xy'+y=e
x满足初始条件
的特解.
解:所给方程为一阶线性微分方程,将其化为标准方程
将初始条件y|
x=1=e代入上式,可得C=0,故
为所求的特解.
[解析] 将方程化为标准形式,先求出微分方程的通解,再利用初始条件求出特解.
7. 设齐次线性方程组
当λ为何值时,方程组只有零解?λ为何值时,方程组有无穷多解?有无穷多解时求通解.
解:方程组的系数行列式
,
当λ≠-1且λ≠1时方程组只有零解。
当λ=-1,时有无穷多解,通解为
;
当λ=1时有无穷多解,通解为
.
[解析] 本题通过分类讨论方程组的系数行列式D=0或D≠0来判定解的情况.
8. 求向量组α
1=(1,2,1,3),α
2=(4,-1,-5,-6),α
3=(-1,-3,-4,-7),α
4=(2,1,2,3)的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大无关组线性表出.
所以α
1,α
2,α
3是极大线性无关组.由α
4=k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3得方程组
解得
所以
四、应用题(本大题共16分)1. 求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一点,使该点的切线与直线x=2,x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小.
解:
如图所不,设曲线y=lnx在区间(2,6)内一点为x
0,所围面积为S(x
0),则过点(x
0,lnx
0)的切线方程为
,
即
.
故
.
令S'(x
0)=0,得x
0=4.又因为当x<4时,S'(x
0)<0,当x>4时,S'(x
0)>0,所以x
0=4为极小值点,根据题意也就是最小值点,故曲线y=lnx在区间(2,6)内取点x=4时,使该点的切线与直线x=2,x=6及曲线.y=lnx所围成的平面图形面积最小.
[解析] 设所求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一点为(x0,lnx0),即可表示出过该点的切线方程,画出图形,利用积分以及导数可求解.
2. 求由曲线y=x
2与直线x=1,x=2及y=0围成平面图形的面积S以及该图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积V.
曲线y=x
2与直线x=1,x=2及y=0围成的平面图形如图所示:
所求面积
所求旋转体的体积