一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 设f(x,y)为连续函数,
交换积分次序后得到______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 画出积分区域如图,交换积分次序,得
故选C.
2. 交换二次积分
的积分次序后,I=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因积分区域D为:D=D
1+D
2,其中
D又可表示为0≤x≤1,x≤y≤2-x,
于是交换次序后积分为
故应选D
4. 下列级数中,条件收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
是
的级数,发散,但
是交错级数,且满足莱布尼茨条件,收敛,所以选项B是条件收敛.
7.
______
A.
B.
C.0
D.∞
A B C D
A
[解析] 因为当x→∞时,
所以
故应选A.
二、填空题1. 曲线y=lnx上点(1,0)处的切线方程为______.
y=x-1
[解析]
y'|
x=1=1,故切线方程为:y-0=x-1,即y=x-1.
2. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别为
则3人中恰有2人合格的概率为______.
[解析] 设甲、乙、丙三人考试合格用事件A
i(i=1,2,3)表示,则3人中有2人合格的概率为
3. 已知f(x)=sinx为可导函数,f(x)在点x=0.002处的近似值为______。
0.002
[解析] f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx,令x0=0,Δx=0.002,
故f(0.002)≈f(0)+f'(0)·0.002
=sin0+cos0·0.002
=0.002.
5. 已知矩阵
则AB=______,BA=______.
[解析]
6. 级数
的收敛域为______。
[-1,1)
[解析]
,故收敛半径R=1.当x=-1时,级数为
,收敛;当x=1时,级数为
,发散.故收敛域为[-1,1).
7. 幂级数
的收敛区间为______。
8. 从0,1,2,3,4五个数中任取三个数,则这三个数不含0的概率为______.
[解析] 任取三个数的总事件为
三个数不含0的事件为
则任取三个数不含0的概率为
9. 极限
[解析]
10. 函数f(x)=x
4-2x
2+5在区间
上的最大值为______。
5
[解析] f'(x)=4x
3-4x,令f'(x)=0得x=0,-1,1,
计算f(0)=5,f(±1)=4,
,
从而f(x)在
上的最大值为5.
三、计算题本大题共60分.1. 计算定积分
解:
2. 计算定积分
方法一 凑微分法
方法二 第二换元法
3. 计算定积分
其中
4. 求微分方程
的通解.
当以x为未知函数时,可以得到线性方程
于是由一阶线性微分方程的通解公式,得原方程的通解为
其中C为任意常数.
X的密度函数为
求7. 当λ为何值时,线性方程组
有唯一解?无解?有无穷多解?并在有解时求出其全部解。
解:该线性方程组所对应的增广矩阵为
(1)当λ≠-1,0,1时,
,方程组有唯一解.
方程组唯一解为
(2)当λ=-1时,
同解方程组
即
通解为
所以λ=-1时,方程组有无穷多解.
(3)当λ=0时,
,方程组无解.
(4)当λ=1时,
,该线性方程组无解.
8. 求向量组α
1=(1,-1,2,4),α
2=(0,3,1,2),α
3=(3,0,7,14),α
4=(1,-2,2,0),α
5=(2,1,5,10)的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大无关组线性表出.
所以α
1,α
2,α
4是极大线性无关组.由α
5=k
1α
1+k
2α
2+k
3α
4得方程组
解得
k
1=2,k
2=1,k
3=0,
所以α
5=2α
1+α
2+0α
4;
由α3=k
1α
1+k
2α
2+k
3α
4得方程组
解得
k
1=3,k
2=1,k
3=0,
所以
α
3=8α
1+α
2+0α
4.
已知线性方程组9. 问方程组是否有解?若有解,有唯一解?还是有无穷多解?
设该线性方程组对应的系数矩阵为A,则对应的增广矩阵为
r(B)=r(A)=2<4,所以方程组有无穷多解;
10. 如果有解,求出全部解.当有无穷多解时,要求用导出组的基础解系表示.
一般解为
其中x
3、x
4为自由未知量,
令x
3=x
4=0得特解
而导出组的一般解为
分别令(x
3,x
4)为(1,0),(0,1),得导出组的基础解系为
所以,该方程的通解为
其中k
1,k
2为任意常数.
四、证明与应用题每小题10分,共30分.1. 求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一点,使该点的切线与直线x=2,x=6以及曲线y=lnx所围成的平面图形面积最小.
如图所示,设曲线y=lnx在区间(2,6)内一点为(x
0,lnx
0),所围面积为S(x
0),过点(x
0,lnx
0)的切线方程为
即
故
令S'(x
0)=0,得x
0=4.又因当x<4时,S'(x
0)<0,当x>4时,S'(x
0)>0,所以x
0=4为极小值点,根据题意也就是最小值点,故曲线y=lnx在区间(2,6)内取点(4,2ln2)时,该点的切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成的平面图形面积最小.
2. 计算由曲线xy=1和直线y=2,x=3及x,y轴所围成的平面图形的面积。
解:根据二重积分的几何意义,得所求平面图形的面积
我们也可以通过定积分的应用,取z为积分变量,则
3. 证明方程x=asinx+b(其中a>0,b>0)在(0,a+b]上至少有一个根。
证:构造函数f(x)=x-asinx-b,f(x)显然在(0,a+b]上连续,且
f(0)=-b<0,
f(a+b)=a[1-sin(a+b)]≥0.
当f(a+b)=0时,x=a+b就是满足题意的一个根;
当f(a+b)>0时,f(0)f(a+b)<0,由零点存在定理知,
至少存在一点ξ∈(0,a+b),使得f(ξ)=0,即原方程在(0,a+b)内至少有一个根.
综上所述,x=asinx+b在(0,a+b]上至少有一个根.