一、单项选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.8. 设齐次线性方程组
的系数矩阵为A,且存在3阶方阵B≠O,使AB=O,则______
- A.λ=-2且|B|=0
- B.λ=-2且|B|≠0
- C.λ=1且|B|=0
- D.λ=-1且|B|≠0
A B C D
C
[解析] B≠O,AB=O,即AX=O有非零解,故|A|=0且A不为零矩阵即
,解得λ=1.
若|B|≠0,则B
-1存在,AB·B
-1=A=O,
显然矛盾,故|B|=0,所以本题选C.
二、填空题1. 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是0.4,则飞机被击中的概率为______。
0.784
[解析] 飞机未被击中的概率为(1-0.4)3=0.216,则飞机被击中的概率为1-0.216=0.784.
3. 已知E(X)=3,D(X)=5,则E(X+2)
2=______。
30
[考点] 本题考查了随机变量数字特征的关系.
[解析] E(X)=3,E(X+2)=5,D(X)=5,D(X+2)=5,则
E(X+2)2=D(X+2)+[E(X+2)]2=5+25=30.
4. 设函数
在x=0处连续,则a=______,b=______.
1,1
[解析] 由连续的定义可知,
即
可得a=1=b.
5. 设
则φ'(x)=______.
[解析]
6. 若函数
,则f(x)=______。
7. 10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买一张,则前3个购买者中恰有一个中奖的概率为______。
[解析] 前3个购买者购买奖券的情况共有
种,前3个购买者中恰有一个中奖的情况有
种,所以前3个购买者恰有一个中奖的概率为
8. 函数
当a=______时,函数f(x)连续。
2
[解析]
,由于f(x)连续,故
9. 设X~B(2,p),Y~B(3,p),且
,则P(Y≥1)=______。
10. 函数
是连续函数,则a=______.
[解析]
由f(x)的连续性,知1-a=a,即
四、证明与应用题每小题10分,共30分.1. 设x-az=f(y-bz),f可微,证明:
[证明] 由题意得
则
结论得证.
2. 过曲线y=x
2(x≥0)上某点A作切线.若过点A作的切线,曲线y=x
2及x轴围成的图形面积为
求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V.
设A点坐标为
由y'=2x,得切线方程为
或
由已知
所以x
0=1,y
0=1,切线方程为2x-y-1=0,切线与x轴交点为
于是
3. 设函数z(x,y)由方程
确定,证明:
证:将方程
的两边对x求导,有
解之,得
同样可得
故