一、单项选择题2. 下列级数发散的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 选项A中,
不存在,所以
是发散的.选项B中,
,且
,所以级数
收敛.选项C中,
是公比q=
的等比级数,所以级数
收敛.选项D中,因为
是p=3的p-级数,所以
收敛,故
绝对收敛,故选A.
3. 当x→0时,下列结论错误的是______
A.xsinx是无穷小量
B.
是无穷小量
C.
是无穷大量
D.
是无穷大量
A B C D
C
[解析] 因为
,故当x→0时,xsinx是无穷小量;
因为
,故当x→0时,
是无穷小量;
因为
,故当x→0时,
是无穷大量;
因为
,所以当x→0时,
不是无穷大量,故选C.
三、解答题(共61分)1. 求微分方程xy'+y=xsinx满足初始条件
的特解.
方程xy'+y=xsinx两边同时除以x,得
,是一阶线性微分方程,
其中
,Q(x)=sinx,利用通解公式得
又
,解得C=1,
故特解为
2. 设直线y=kx(0<k<1)与曲线y=x
2以及直线x=1围成的两部分封闭图形的面积分别为S
1,S
2,试求k为何值时,S
1+S
2最小.
直线y=kx(0<k<1)与曲线y=x
2的交点为(0,0),(k,k
2),根据题意,所围成的图形如图所示.令S(k)=S
1+S
2,故
令
,得区间(0,1)内的唯一驻点
因为S"(k)=2k,
,则
为S(k)的极小值点,
又因为实际问题必有最值,故
也是使S
1+S
2最小的点.
3. 已知矩阵
,且AX=B,求矩阵X.
|A|=-1≠0,故A可逆,且X=A
-1B.
所以
故
4. 求幂级数
的和函数.
5. 设函数y=alnx+2bx
2-10x在x=1处取得极值,且
为其拐点横坐标,求a,b的值.
由题意知y的定义域为(0,+∞),
又由已知条件可得y'(1)=a+4b-10=0,
联立解得a=2,b=2.
6. 现有边长为96cm的正方形纸板,将其四角各剪去一个大小相同的小正方形,折成无盖纸箱,问剪去的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大?
如图所示,设剪去的小正方形的边长为xcm,则纸箱的底面边长为(96-2x)cm,高为xcm,容积V=(96-2x)
2·x,0<x<48,则
V'(x)=2(96-2x)·(96-2x)'·x+(96-2x)
2 =-4x(96-2x)+(96-2x)
2 =(96-2x)(96-6x),
令V'(x)=0,得x
1=16,x
2=48(舍),
又V"(x)=-2(96-6x)-6(96-2x),则V"(16)<0,
故x=16为唯一极大值点,且该实际问题最大值一定存在,所以当剪去的小正方形的边长为16cm时,纸箱的容积最大.