一、单项选择题2. 设函数f(x)在[6,10]上连续,在(6,10)内可导,且f(10)-f(6)=4,则在(6,10)内曲线y=f(x)至少有一条切线平行于直线______
A.y=x
B.y=-x
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由拉格朗日中值定理可得至少存在一点ξ∈(6,10),使得f'(ξ)=
,即曲线y=f(x)在点x=ξ处的切线斜率为1,所以曲线y=f(x)至少有一条切线平行于直线y=x.
3. 下列级数收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] A项中,
,由于
发散,
收敛,故原级数发散;B项中,级数
为公比
的等比级数,收敛;C项中,因为
,因此
发散;D项中,由于n→∞时,
,而
发散,因此
发散.
4. 设随机变量X的分布函数为
则X的分布律为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4,
P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4,
P(X=3)=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2.
即X的分布律为
5. 已知y=y(x)是由方程
确定的隐函数,则y'=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 等式两边同时对x求导得
,整理得
6. 已知
若函数f(x)在x=1处连续,则a=______.
A.3
B.2
C.1
D.
A B C D
C
[解析]
,由f(x)在x=1处连续得1-a=0,即a=1.
7. 极限
=______.
A.1
B.2
C.-1
D.
A B C D
D
[解析]
二、填空题1. 在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ
2),若X在(0,2)内取值的概率为0.8,则X在[0,+∞)内取值的概率为______.
0.9
[解析]
方法一 因为
,故P(X≥0)=1-P(X<0)=1-
方法二 因为X服从正态分布N(1,σ
2),所以正态分布曲线关于x=1对称.又因为X在(0,2)内取值的概率为0.8,所以X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在[0,+∞)内取值的概率为0.4+0.5=0.9.
2. 设函数
,则f(x)的极小值为______.
-4
[解析] f'(x)=3x
2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x
1=0,x
2=2.当x<0时,f'(x)>0;当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.故f(x)在x=2处取极小值
3. 不定积分
=______.
[解析]
4.
=______.
5. 已知y=e
2x+1,则dy=______.
2e2x+1dx
[解析] y'=e2x+1·2=2e2x+1,所以dy=2e2x+1dx.
三、解答题(共61分)1. 计算二重积分
,其中D是由曲线
和直线y=x所围成的闭区域.
积分区域如图所示,D在极坐标系下可表示为0≤r≤
,则
2. 求二重积分
,其中积分区域D={(x,y)|y≥x,1≤x
2+y
2≤4}.
积分区域如图所示,
在极坐标系下,
所以
3. 求解线性方程组
线性方程组的系数矩阵
同解方程组为
取
,可求得基础解系为
所以线性方程组的通解为
4. 求由曲线y=e
x,y=e
-x及直线y=2所围成的平面图形的面积,
所围图形如图所示,则该平面图形的面积为
5. 设D是由曲线y=f(x)与直线y=0,y=3围成的区域,其中
求D的面积.
所围图形D如图所示,则D的面积
8件产品中有6件正品和2件次品,现从中随机抽取2件产品,记X为次品数,求:6. 随机变量X的概率分布;
由题意可得X可取0,1,2,
其中
则随机变量X的概率分布是
7. X的数学期望E(X).
由上小题得