一、单项选择题1. 函数f(x)=x+2cosx在[0,π]上的最大值为______
A.
B.2
C.π+2
D.π-2
A B C D
A
[解析] f'(x)=1-2sinx,在[0,π]上,令f'(x)=0,则
,比较f(0)=2,
,f(π)=π-2,可知f(x)在[0,π]上的最大值为
3. 极限
=______
A.-2
B.2
C.
D.
A B C D
B
[解析]
,故选B.
4. 设函数f(x)=xsinx+cosx
,则下列结论正确的是______
A.f(0)是f(x)的极小值,
是f(x)的极大值
B.f(0)是f(x)的极大值,
是f(x)的极小值
C.f(0)和
都是f(x)的极小值
D.f(0)和
都是f(x)的极大值
A B C D
A
[解析] f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,其中
.令f'(x)=0,解得x
1=0,
当
和
时,f'(x)<0;当
时,f'(x)>0,故f(0)是f(x)的极小值,
是f(x)的极大值,故选A.
6. 向量S
1={-1,-4,5}与S
2={4,-1,0}的夹角为______
A.
B.π
C.
D.
A B C D
A
[解析] 设两向量夹角为θ,则
,所以
三、解答题(共61分)2. 设D是由直线y=x、y=2x及x=1所围成的闭区域,求二重积分
区域D如图阴影所示,为X-型区域,可表示为{(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x},故
3. 求
4. 计算二重积分
,其中D是由曲线
、直线y=x及y轴所围成的闭区域.
积分区域D如图所示,在极坐标系下可表示为0≤r≤1,
,则
5. 求微分方程
的通解.
将原方程写成
,则由一阶线性微分方程的通解公式可得
6. 已知齐次线性方程组
确定a为何值时,方程组有非零解,并求其通解.
方程组的系数矩阵
当a-3=0即a=3时,r(A)=2<3,方程组有非零解,
此时
则同解方程组为
令x
3=k,得原方程组的通解为