一、单项选择题1. 下列方程是可分离变量微分方程的是______
A.
B.y"+y=0
C.x
2y-x=0
D.(1+e
x)yy'=e
x A B C D
D
[解析] 可分离变量微分方程是可以整理成f(x)dx=g(y)dy形式的方程,D项方程(1+e
x)yy'=e
x可整理为
,即为可分离变量微分方程. A项为一阶非齐次微分方程,B项为二阶齐次微分方程,C项不是微分方程.
2. 不定积分
=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析]
3. 设
则______
- A.x=0是f(x)的第一类间断点
- B.x=0是f(x)的第二类间断点
- C.x=2是f(x)的第一类间断点
- D.x=2是f(x)的第二类间断点
A B C D
C
[解析] 因为
,
,所以f(x)在x=0处连续;
因为
所以f(x)在x=2处不连续,且x=2为f(x)的第一类间断点.
7. 下列不等式成立的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 当0≤x≤1时,
当0≤x≤1时,e
x≥e
-x,故
,D项成立.
8. 若函数
,则在
内______
- A.f(x)单调增加,曲线是凹的
- B.f(x)单调减少,曲线是凹的
- C.f(x)单调增加,曲线是凸的
- D.f(x)单调减少,曲线是凸的
A B C D
B
[解析]
,f'(x)=2x
2-x-1=(2x+1)(x-1),
f"(x)=4x-1,在
内,f'(x)<0,f"(x)>0,即f(x)单调减少,曲线是凹的,故选B.
二、填空题1. 设函数
在x=0处极限存在,则常数a=______.
2
[解析] 由题意可知
,因为f(x)在x=0处极限存在,所以a=2.
2. 设函数
在x=7处连续,则常数a=______.
[解析] 因为f(x)在x=7处连续,所以
,而
,故
3. 设随机变量X的概率密度为
则数学期望E(X)=______.
[解析]
4. 现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,某人从中随机地、无放回地抽取3张,则此人得奖金额大于10元的概率为______.
[解析] 随机无放回地抽取3张奖券的得奖金额ξ的可能取值为6,9,12,则
5. 设随机事件A与B互不相容,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则A与B中恰有一个发生的概率为______.
0.7
[解析] 随机事件A与B互不相容,则AB=
,故P(AB)=0,所以A、B恰有一个发生的概率为
三、解答题(共61分)1. 求微分方程
满足初始条件y(0)=1的特解.
原方程分离变量得
上式两端积分得
即ln|y|=arctanx-x+C
1,
所以原方程的通解为y=Ce
arctanx-x.
把y(0)=1代入通解得C=1,故所求特解为y=e
arctanx-x.
设连续型随机变量X的概率密度为2. 求a;
由概率密度函数的性质可得
所以a=2;
5. 罐中有12颗棋子,其中8颗白子4颗黑子,如果从中任取3颗,求:
(1)取到的都是白子的概率;
(2)取到2颗白子,1颗黑子的概率;
(3)取到的3颗棋子中至少有1颗黑子的概率.
从12颗棋子中任取3颗的基本事件总数为
.
(1)设取到的都是白子为事件A
1,则其概率为
(2)设取到2颗白子,1颗黑子为事件A
2,则其概率为
(3)设取到的3颗棋子中至少有1颗黑子为事件A
3,它的对立事件为A
1,故其概率为
6. 求极限
7. 求
的凹凸区间和拐点.
函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
令y"=0,可得x=-3,此时
当x∈(-∞,-3)时,y"<0;当x∈(-3,0)时,y">0;当x∈(0,+∞)时,y">0,
故曲线的凸区间为(-∞,-3),凹区间为(-3,0)和(0,+∞),拐点为
8. 设随机变量X的分布列为
求 E(X),E(X
2),E(3X
2+5).
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2,
E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8,
利用数学期望的性质,则有
E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4.